¿Aproximar la distribución de una variable aleatoria si n es suficientemente grande?

Question

Tengo esta corrección de unos deberes de matemáticas en los que tenía que trabajar.

Durante las inscripciones universitarias, cada estudiante completa un expediente de inscripción. Todas las comprobaciones realizadas indican que la probabilidad de que cualquier matrícula esté bien cumplimentada es igual a p = 0,94.

1. Introduzca una variable aleatoria X que describa los dos estados posibles de cada fichero.

2. Si n = 5, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos : {ningún fichero está bien lleno}, {todos los ficheros están bien llenos}, {X > 3}, { 2 < X < 4}.

3. Si n = 100, ¿qué distribución de probabilidad podemos utilizar para aproximar la distribución de X?

La respuesta a 3) es Para n = 100, podemos aproximar la distribución binomial por la distribución normal con media = np y desviación típica = (npq).

Esta aproximación es válida si np > 5 y nq > 5, lo que se cumple en este caso.

Entiendo que la razón por la que esto es correcto es por el teorema del límite central, que dicta que si n es lo suficientemente grande, entonces una variable aleatoria puede ser modelada usando la distribución normal. Sin embargo no entiendo la última frase, ¿por qué 5? y ¿por qué comprobamos esa suposición con np y nq?

Answer 1

Comprobar si $np > 5$ y $n(1-p) > 5$ es una regla general para saber cuándo es conveniente aproximar la binomial por la normal.

No es que $5$ es un número mágico que convierte de repente la distribución binomial en una curva de campana. Más bien, no queremos $np$ y $n(1-p)$ para ser demasiado pequeño, y $5$ es un umbral razonable que la gente ha encontrado para "no ser demasiado pequeño".

La razón por la que queremos un límite inferior en $np$ es que cuando $np$ es pequeño, es mejor aproximar la distribución binomial por una distribución de Poisson con tasa $np$ . La Poisson es también una distribución discreta, por lo que será mejor que la normal para indicar probabilidades discretas como $\Pr[X=0]$ , $\Pr[X=1]$ , $\Pr[X=2]$ . Mientras tanto, la distribución normal pondrá demasiado peso en $\Pr[X<0]$ lo que no es posible para la distribución binomial que queremos aproximar.

Cuando $n(1-p)$ es pequeño, entonces lo mismo se aplica a la variable aleatoria $n-X$ que tiene una distribución binomial con $n$ ensayos y probabilidad $1-p$ .