¿Superficies riemannianas con una función de distancia explícita?

Question

Estoy buscando ejemplos explícitos de superficies riemannianas (variedades riemannianas bidimensionales $(M,g)$ ) para la que la función de distancia d(x,y) puede darse explícitamente en términos de coordenadas locales de x,y, suponiendo que x e y están suficientemente cerca. Por "explícito", me refiero a cosas como una descripción de forma cerrada en términos de funciones especiales, resolviendo implícitamente una ecuación trascendental o (en el peor de los casos) resolviendo una EDO, en lugar de tener que resolver un problema variacional o una EDP como la ecuación eikonal, o un problema inverso para una EDO, o sumar una serie asintótica.

Los únicos ejemplos que conozco son las superficies de curvatura constante, que pueden ser modeladas localmente por el plano euclidiano ${\bf R}^2$ la esfera ${\bf S}^2$ o el plano hiperbólico ${\bf H}^2$ para el que tenemos fórmulas clásicas para la función de distancia.

Pero no conozco ningún otro ejemplo. Por ejemplo, las funciones de distancia en la superficie del elipsoide sólido o del toro sólido en ${\bf R}^3$ parecen bastante desagradables ya para escribirlas explícitamente. Probablemente las superficies de Zoll serían lo siguiente que habría que intentar, pero no conozco ningún ejemplo explícito manejable de superficies de Zoll que no sean ya de curvatura constante.

Answer 1

Explicaré brevemente lo que otros han señalado sobre las geodésicas en superficies de revolución (o más generalmente, superficies con un grupo de simetrías de 1 parámetro), porque es bonito y no se entiende tan ampliamente como debería.

Las geodésicas sobre superficies de revolución conservan el momento angular en torno al eje central, por lo que el flujo geodésico se divide en superficies bidimensionales que tienen energía (~longitud) y momento angular constantes (El principio más general es que el producto interior de la tangente a una geodésica con cualquier isometría infinitesimal de una variedad riemanniana es constante). Las superficies son genéricamente toros. La sombra de estos toros sobre la superficie de revolución es un anillo, una componente de un conjunto de $r \ge r_0$ donde en cada punto con $r > r_0$ hay dos vectores que tienen el mismo momento angular, pero se fusionan en el límite, convirtiéndose ambos en tangentes al límite del círculo. Si se dibuja la imagen, se véase el toroide. Las geodésicas corresponden al fenómeno físico del patrón de una cuerda o hilo enrollado técnica pero pasivamente alrededor de un cilindro. A medida que la cuerda se acumula en el centro, la geodésica empieza a oscilar hacia delante y hacia atrás en un patrón sinusoidal, amplificando aún más el abultamiento en el centro.

Para encontrar la geodésica del punto x al punto y, es necesario saber qué momento angular le llevará de x a y. Para dos círculos meridianos cualesquiera y cualquier elección de momento angular, las geodésicas de un momento angular dado trazan un mapa de un círculo al otro mediante una rotación. Tanto el ángulo de rotación del mapa como la longitud de la familia particular de geodésicas que atraviesan el círculo vienen dados por una integral sobre un intervalo que atraviesa el círculo, ya que se conoce la pendiente del campo vectorial en todos los puntos intermedios. Tengo aversión al cálculo simbólico real, así que no te daré fórmulas de ejemplo, pero creo que esto debería cumplir tu criterio de explicitud.

Pero para dar un paso atrás: esta pregunta, que pide una fórmula explícita, tiene una connotación no declarada (y probablemente no intencionada) que merece la pena examinar: este uso del lenguaje sugiere implícitamente que las formas no simbólicas son menos dignas. Desconozco la motivación de fondo de la pregunta, pero una pregunta alternativa para algunos propósitos sería dar ejemplos de superficies en las que se pueda muestra la función de distancia. La comunicación de las matemáticas se inclina hacia las formas simbólicas. Sin embargo, para muchas personas y muchos propósitos, algún tipo de representación gráfica de la función de distancia, y/o diagramas o explicaciones de por qué es lo que es, así como un método sencillo para calcularla, sería a menudo mejor que una respuesta simbólica.

El flujo geodésico es, por supuesto, una ecuación diferencial ordinaria. Se trata de un campo vectorial en el manificio 3 de vectores tangentes de longitud unitaria a la superficie, definido por ecuaciones muy sencillas: los vectores son tangentes a la superficie, y su derivada (= la 2ª derivada de un arco geodésico) es normal a la superficie. Las soluciones no siempre tienen una forma simbólica bonita, pero siempre tienen una forma geométrica bonita y fácil de calcular. Encontrar la distancia implica el teorema de la función implícita, pero esto es fácil e intuitivo. Uno podría, por ejemplo, dibujar fácilmente una superficie paramétrica que es la gráfica de la distancia como función de la posición directamente a partir de las soluciones de la EDO (que sin duda a veces incluso tienen representaciones simbólicas razonables). Tanto la EDO para el flujo geodésico como la función inversa para dar la distancia en función de la posición son fáciles de calcular numéricamente, y fáciles de entender cualitativamente.

Answer 2

NB (3/1/13): He revisado esta respuesta para hacerla más completa (y, para ser franco, más precisa). Mi respuesta original no tenía en cuenta la diferencia entre el lugar de corte y el lugar conjugado y, por supuesto, esto afecta a la fórmula de la distancia entre puntos.

Conozco algunas métricas con curvatura no constante para las que se puede escribir la función de distancia explícitamente en términos de las coordenadas. La métrica más sencilla que conozco es la métrica (incompleta) $ds^2 = y\ (dx^2+dy^2)$ en el medio plano superior $y>0$ . La curvatura de Gauss de esta métrica es $K = 1/(2y^3)>0$ , por lo que no es constante.

Cada geodésica de esta métrica en el semiplano superior puede parametrizarse de la forma $$ x = a + b\ t\qquad\qquad y = b^2 + \frac{t^2}{4} $$ para algunas constantes $a$ y $b$ y, para dicha geodésica, la función de arclitud a lo largo de la curva es $$ s = c + b^2\ t + \frac{t^3}{12}\ . $$ para alguna constante $c$ .

Utilizando estas fórmulas, se encuentra que dos puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ son unibles por un segmento geodésico si y sólo si $4y_1y_2 \ge (x_1{-}x_2)^2$ . En el caso de la desigualdad estricta, hay dos segmentos geodésicos que unen los dos puntos, y la longitud del segmento más corto es $$ L_1\bigl((x_1,y_1),(x_2,y_2)\bigr) = {1\over3}\sqrt{3(x_1{-}x_2)^2(y_1{+}y_2)+4(y_1^3{+}y_2^3) - (4y_1y_2-(x_1{-}x_2)^2)^{3/2}}\ . $$ Nótese que, en cierto sentido, esto es mejor que el caso de curvatura constante. Aquí, la función de distancia es algebraica en coordenadas adecuadas, mientras que, en los casos de curvatura constante no nula, la función de distancia no lo es.

Sin embargo, la función $L_1$ no da necesariamente la distancia real entre los dos puntos (es decir, el infinito de las longitudes de las curvas que unen los dos puntos), y no es sólo porque no todos los pares de puntos pueden estar unidos por una geodésica. Para ver esto, hay que completar el semiplano superior añadiendo un punto que represente el "límite $y=0$ . La métrica de Riemann no se extiende suavemente a través de este "punto", por supuesto (después de todo, la curvatura de Gauss se dispara al acercarse a este punto), pero se extiende como un espacio métrico. Las líneas verticales, que son geodésicas, pueden entonces utilizarse para unir $(x_1,y_1)$ a $(x_2,y_2)$ pasando por el punto singular, y la longitud total de esta geodésica es $$ L_2\bigl((x_1,y_1),(x_2,y_2)\bigr) = \frac{2}{3}\bigl({y_1}^{3/2}+{y_2}^{3/2}\bigr). $$ (Además, tenga en cuenta que $L_2$ se define para cualquier par de puntos en el semiplano superior). Si no nos gusta este camino que pasa por el punto singular, podemos fácilmente perturbarlo ligeramente para evitar el punto singular y no aumentar mucho la longitud, por lo que está claro que el ínfimo de las longitudes de las curvas que están estrictamente en el semiplano superior y que unen los dos puntos no es más que $L_2$ .

Esto sugiere que la verdadera función de distancia $L$ debe ser el mínimo de $L_1$ y $L_2$ donde ambos están definidos, es decir, donde $4y_1y_2 \ge (x_1{-}x_2)^2$ y $L_2$ en el plató donde $4y_1y_2 < (x_1{-}x_2)^2$ .

Para tener una idea de cómo interactúan estas dos fórmulas, se puede utilizar el hecho de que $x$ -La traducción preserva la métrica mientras que las escalas $(x,y)\mapsto (ax,ay)$ para $a>0$ preservan la métrica hasta una homotecia (y por tanto preservan las geodésicas y escalan las distancias). Estas dos acciones generan un grupo transitivo en el semiplano superior, por lo que basta con ver cómo interactúan estas dos funciones cuando $(x_1,y_1) = (0,1)$ es decir, ver el lugar conjugado y el lugar de corte de este punto.

El lugar conjugado es fácil: es sólo $y-x^2/4=0$ que es el límite de la región $y-x^2/4\ge0$ que consiste en los puntos que se pueden unir a $(0,1)$ por un segmento geodésico. Mientras tanto, el lugar de corte está dado por los puntos $(x,y)$ que satisfagan $y-x^2/4\ge0$ y para el cual $L_1\bigl((0,1),(x,y)\bigr) = L_2\bigl((0,1),(x,y)\bigr)$ . De hecho, uno tiene $L_1\bigl((0,1),(x,y)\bigr) < L_2\bigl((0,1),(x,y)\bigr)$ sólo cuando $y > f(x)$ , donde $f$ es una cierta función algebraica par de $x$ que satisface $f(x) \ge x^2/4$ (con igualdad sólo cuando $x=0$ ). Además, para $|x|$ pequeño, uno tiene $$ f(x) = \left({\frac{{\sqrt{3}}}{4}}x\right)^{4/3} + O(x^2) $$ mientras que, para $|x|$ grande, uno tiene $$ f(x) = \left({\frac{\sqrt{3}}{4}}x\right)^{4} + o(x^4). $$

Así, todas las geodésicas que salen de $(x,y)=(0,1)$ que no sean las verticales, cumplen con el lugar de corte antes de llegan al lugar conjugado (y todos se encuentran con el lugar conjugado).

Así, la función de distancia real para esta métrica es explícita (es esencialmente el mínimo de $L_1$ y $L_2$ ), pero sólo es semialgebraica.

Observación [por Matt F]: El siguiente gráfico muestra las curvas de nivel para las distancias de $(0,1)$ . El lugar conjugado está en blanco, y el lugar de corte pasa por las esquinas en las curvas de nivel.

Observación: Lo que hace que esto funcione es que, mientras que la métrica sólo tiene una familia de simetrías de 1 parámetro, tiene una familia de homotecias de 2 parámetros (como se ha descrito anteriormente), y esta simetría extra de las geodésicas es fundamental para que esto funcione. Por supuesto, hay otras métricas de este tipo, todas las de la forma $ds^2 = y^{a}\ (dx^2+dy^2)$ ( $a$ es una constante) tienen esta propiedad y no tienen curvatura constante a menos que $a = 0$ o $a = -2$ . No se obtienen respuestas algebraicas para todos los valores de $a$ Por supuesto, pero hay una manera de conseguir $D$ definida implícitamente en términos de una función especial (que depende del valor de $a$ ).

De forma más general, las métricas cuyas geodésicas admiten más simetrías que la propia métrica tienden a tener tales fórmulas. No conozco ningún otro caso en el que se pueda obtener $D$ tan explícitamente.

Answer 3

En el transcurso de la redacción de una respuesta a una pregunta de MO relacionada Me di cuenta de que hay una superficie con un completa Métrica riemanniana de curvatura negativa no constante para la que se puede escribir la función de distancia de forma explícita, así que he pensado en registrarla aquí para aquellos que puedan estar interesados.

Tales métricas son bastante raras; incluso cuando el flujo geodésico es integrable (o incluso rotacionalmente simétrico), generalmente no se puede calcular la longitud de arco a lo largo de las geodésicas de forma suficientemente explícita como para poder calcular la distancia geodésica entre dos puntos dados de forma explícita. Este es el primer ejemplo completo con curvatura no constante que he visto. (Hay muchos ejemplos explícitos pero no completos con curvatura no constante en la literatura clásica, por ejemplo el tomo III de la monumental obra de Darboux Lecciones sobre la teoría general de superficies y aplicaciones geométricas del cálculo infinitesimal .)

La superficie es $\mathbb{R}^2$ y la métrica en coordenadas estándar es la métrica rotacionalmente simétrica $$ g = (x^2+y^2+2)\,(\mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2). $$ La curvatura de Gauss de $g$ es $K = -4/(x^2+y^2+2)^3<0$ . Es completa, ya que domina la métrica plana estándar. De la teoría general se deduce que dos puntos cualesquiera se encuentran en una única geodésica y que cada segmento geodésico minimiza $g$ -distancia entre sus extremos.

Las geodésicas de $g$ son fáciles de describir como curvas: Para cada par de números $(a,b)$ con $a^2+b^2\ge 1$ Considere la ecuación $$ (1+a)\,x^2 + 2b\,xy + (1-a)\,y^2 = a^2+b^2-1. $$ Cuando $a^2+b^2>1$ , ésta es una hipérbola, y cada una de las ramas es una geodésica. Cuando $a^2+b^2=1$ es la ecuación de una recta que pasa por el origen, que también es una geodésica. A la inversa, toda geodésica de $g$ es una línea que pasa por el origen o una rama de una de las hipérbolas enumeradas anteriormente.

La distancia geodésica a lo largo de una línea que pasa por el origen no es difícil de escribir: En la línea $y=0$ el elemento de longitud de arco es $$ \mathrm{d}s = \sqrt{x^2+2}\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}\left(\sinh^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)+\frac{x\sqrt{x^2+2}}{2}\right). $$ Set $$ f(x) = \sinh^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)+\frac{x\sqrt{x^2+2}}{2} \approx \sqrt2\left(x + \frac{x^3}{12}-\frac{x^5}{160}+\cdots\right). $$

A continuación mostraré que el $g$ -distancia entre dos puntos cualesquiera $p,q\in\mathbb{R}^2$ viene dada por la fórmula $$ \delta(p,q) = f\left(\frac{|p+q|+|p-q|}{2}\right)-f\left(\frac{|p+q|-|p-q|}{2}\right), $$ donde las normas son las normas euclidianas, es decir, tomadas con respecto al producto interior euclidiano estándar sobre $\mathbb{R}^2$ .

Observación: De hecho, la fórmula anterior también es válida para la métrica rotacionalmente invariante $g = (2+x{\cdot}x)(\mathrm{d}x{\cdot}\mathrm{d}x)$ en $\mathbb{R}^n$ para $n\ge2$ ya que cada geodésica para esta métrica se encuentra en una (totalmente geodésica) $2$ -plano que pasa por el origen $x=0$ .

Para demostrar la afirmación, en primer lugar, hay que tener en cuenta que, aunque la función de distancia $\delta:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ no es suave a lo largo de la diagonal, su cuadrado $\sigma = \delta^2$ es una función suave en $\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2$ que desaparece a lo largo de la diagonal. De hecho, como $g$ es real-analítica, se deduce que $\sigma$ es real-analítica. Porque $g$ es invariante bajo la rotación (euclidiana) alrededor del origen y la reflexión a través de las líneas que pasan por el origen, se deduce que $\delta$ y $\sigma$ son también invariantes bajo estas rotaciones y reflexiones, actuando ahora en diagonal sobre $\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2$ . Utilizando esto, se puede demostrar que $\sigma$ debe ser representable como $$ \sigma(p,q) = C\bigl(|p|^2,\,p{\cdot}q,\,|q|^2\bigr) \quad\text{for all}\ p,q\in\mathbb{R}^2, $$ donde $C(a,b,c)$ es una función suave en el cono $\mathcal{C}_+$ definido por $a,c\ge 0$ y $ac-b^2\ge0$ .

Ahora, para los fijos $q\in\mathbb{R}^2$ la función $\delta_q:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ definido por $\delta_q(p) = \delta(p,q)$ , se desvanece en $q$ y satisface $|\mathrm{d}(\delta_q)|^2_g = 1$ excepto en $q$ (donde no es diferenciable). Esto implica que la correspondiente $\sigma_q = {\delta_q}^2$ alcanza su valor mínimo de $0$ en $q$ y satisface la EDP de primer orden $|\mathrm{d}(\sigma_q)|^2_g = 4\sigma_q$ . Interpretando esto en términos de la representación anterior de $\sigma$ , encontramos que $C$ debe satisfacer la EDP de primer orden $$ 4aC_a^2 + 4bC_aC_b+cC_b^2 - 4(a+2)C^2 = 0. $$ Del mismo modo, utilizando el hecho de que $C(a,b,c) = C(c,b,a)$ (ya que $\sigma(p,q) = \sigma(q,p)$ ), encontramos que $$ 4cC_c^2 + 4bC_cC_b+aC_b^2 - 4(c+2)C^2 = 0. $$ Este par de EDP de primer orden para $C$ es singular en $(a,b,c) = (0,0,0)$ pero, como $C$ debe desaparecer cuando $a+c-2b = |p-q|^2 = 0$ pero por lo demás ser positivo en el cono $\mathcal{C}_+$ es fácil demostrar que $C$ tiene una expansión de Taylor $$ C\simeq (a{-}2b{+}c)\left(2 + \frac{(a{+}b{+}c)}{3}-\frac{(4a{+}7b{+}4c)(a{-}2b{+}c)}{360} + \cdots\right). $$ De hecho, al examinar los términos superiores, se hace evidente que $C$ debe ser una función de $u = a{+}c$ y $v = a{-}2b{+}c$ . De hecho, si $$ C(a,b,c) = H(a{+}c,\,a{-}2b{+}c) = H(u,v) $$ para una función suave $H$ en el $uv$ -dominio definido por $0\le v\le 2u$ entonces se encuentra que $H$ tendría que satisfacer $$ u\,{H_u}^2 + 2v\,(H_uH_v+{H_v}^2) - (u+4)\,H = 0. $$ con $H \simeq v\,\bigr(2-\tfrac1{6}(v-3u)-\tfrac1{720}(15u-7v)v+\cdots\bigr)$ . Utilizando la teoría de las EDP analíticas singulares de primer orden, no es difícil demostrar que dicha solución analítica $H(u,v)$ existe, es único y es un múltiplo de $v$ . (Es fácil demostrar que existe una única solución en serie de potencias cuyo menor término es $2v$ pero hay que demostrar que esta serie converge .)

En consecuencia, $C(a,b,c) = H(a{+}c,\,a{-}2b{+}c)$ satisface el par de EDP analíticas singulares de primer orden mencionadas anteriormente. En consecuencia, $$ \sigma(p,q) = C\bigl(|p|^2,\,p{\cdot}q,\,|q|^2\bigr) = H\bigl(|p|^2{+}|q|^2,\,|p{-}q|^2\bigr), $$ Desde $H$ es un múltiplo de $v = |p{-}q|^2$ se deduce que $$ \delta(p,q) = |p{-}q|\,G\bigl(|p|^2{+}|q|^2,\,|p{-}q|^2\bigr) $$ para alguna función positiva suave $G(u,v)$ . Mientras tanto, para $b<a\in\mathbb{R}$ , tomando $p = (a,0)$ y $q=(b,0)$ tenemos $$ (a{-}b)\,G\bigl(a^2{+}b^2,\,(a{-}b)^2\bigr) = \delta(p,q) = f(a)-f(b). $$ La función $G(u,v)$ se determina en la cuña $0\le v\le 2u$ mediante esta ecuación como $(a,b)$ varían en el semiplano $b<a$ . De ello se deduce que $$ |p{-}q|\,G\bigl(|p|^2{+}|q|^2,\,|p{-}q|^2\bigr) = f\left(\frac{|p+q|+|p-q|}{2}\right)-f\left(\frac{|p+q|-|p-q|}{2}\right), $$ como se desee.

Observación: El lector puede asustarse (como yo lo hice inicialmente) al darse cuenta de que la fórmula anterior implica una identidad aparentemente extraña $$ f\left(\frac{|a+b|+|a-b|}{2}\right)-f\left(\frac{|a+b|-|a-b|}{2}\right) = |f(a)-f(b)| $$ para todos los números reales $a$ y $b$ pero, de hecho, esta identidad se mantiene para cualquier aumento de la función impar $f$ .

Observación añadida (16 de mayo de 2020): Un análisis similar, que da lugar a una función de distancia explícita, puede realizarse para la métrica incompleta $$ g = (1-x^2-y^2)\bigl(\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2\bigr) $$ en el interior del disco de la unidad $D$ definido por $x^2+y^2<1$ . Se trata de una métrica de curvatura positiva $K = 4/(1-x^2-y^2)^3$ . Lo que uno encuentra es que, fijando $$ s(x) = \tfrac12\arcsin(x) + \tfrac12x\sqrt{1-x^2} \quad\text{for}\ |x|\le 1, $$ la función $$ \delta(p,q) = s\left(\frac{|p+q|+|p-q|}{2}\right)-s\left(\frac{|p+q|-|p-q|}{2}\right) $$ da la longitud de la geodésica más corta que une $p$ y $q$ cuando $|p+q|+|p-q|\le 2$ . (Esta desigualdad es también la condición para la existencia de una unión geodésica $p$ y $q$ en el interior de $D$ .)

Mientras tanto, en lo que respecta al círculo delimitador $x^2+y^2=1$ como un solo punto $z$ cuya distancia a $p\in D$ es $s(1) - s(|p|) = \tfrac14\pi - s(|p|)$ vemos que siempre hay un camino desde $p$ a $q$ (a través de z) de longitud $L(p,q) = \tfrac12\pi - s(|p|)-s(|q|)$ .

Ahora no es difícil demostrar que la distancia real de $p$ a $q$ es $L(p,q)$ cuando $|p+q|+|p-q|\ge 2$ y es el mínimo de $\delta(p,q)$ y $L(p,q)$ cuando $|p+q|+|p-q|\le 2$ .

Answer 4

De todos modos, es probable que ya hayas pensado en esto: una forma de producir fórmulas "explícitas" para la distancia de Riemann es a través del núcleo de calor $p(t,x,y)$ y la de Varadhan $$\lim_{t\to0+}t\log p(t,x,y)=-d(x,y)^2.$$ Esto puede ser interesante ya que existe un negocio de cálculo de núcleos de calor para operadores elípticos, que en algunos casos pueden ser interpretados localmente como Laplacianos en alguna métrica. Véase, por ejemplo Beals , o los resultados de Hulanicki y Gaveau.

Answer 5

Dudo en sugerirlo porque ya ha mencionado las superficies Zoll. Pero si sirve de algo, en el libro de libro de Besse, Múltiples cuyas geodésicas son cerradas , ( Results in Mathematics and its Border Areas, 93. Berlín: Springer-Verlag, 1978 ), sección D del capítulo 4, da una incrustación explícita en $\mathbb{R}^3$ de una superficie de revolución Zoll mediante ecuaciones paramétricas $\lbrace x,y,z\rbrace (r,\theta)$ y calcula el lugar de corte a partir de un punto determinado (toma la forma de una "Y").

Editar. Tomando a pecho el punto de Bill Thurston sobre una "representación gráfica de la función de distancia, y/o diagramas", encontré esta elegante imagen del lugar de corte de Zoll en el documento "Deshielo": A Tool for Approximating Cut Loci on a Triangulation of a Surface" de Jin-ichi Itoh y Robert Sinclair, Experimento. Matemáticas. volumen 13, número 3 (2004), 309-325 :