Una desigualdad que implica $L^p$ norma y $L^1$ norma.

Question

Prueba \begin{equation} \lVert f\rVert_p\leq \sup_{\lVert g\rVert_q =1}\lVert fg\rVert_1 , \end{equation} donde \begin{equation} \dfrac {1} {p} +\dfrac {1} {q}=1.\end{equation}

Answer 1

Cuando $1\leq p< \infty$ Hölder da la desigualdad inversa. Que es por lo tanto una igualdad, donde el sup resulta ser un a max. Es la incrustación isométrica de $L^p$ en $(L^q)^*$ . Siempre es sobreyectiva cuando $1<p<\infty$ . Para $p=\infty$ si la medida es $\sigma$ -finito, esto sigue produciendo una isometría entre $L^\infty$ y $(L^1)^*$ .

Así que para conseguir esa desigualdad (suponiendo, por supuesto, que $\|f\|_p>0$ ), es necesario tomar la $g$ . Pruebe algo basado en $f$ .

Para $p=1$ , solo toma $g=1$ . Para $1< p<\infty$ , toma $$g=\frac{f^{p-1}}{\|f\|_p^{p-1}}.$$ Para $p=\infty$ , tómese un conjunto medible $A$ de medida positiva en la que $|f(x)|\geq (1-\epsilon) \|f\|_\infty$ . A continuación, establezca $$g=\frac{1_A}{\mu(A)}$$ para conseguir que el rhs sea $\geq (1-\epsilon) \|f\|_\infty$ por cada $\epsilon>0$ .