Sé que la prueba de que todo espacio vectorial tiene una base utiliza el Axioma de Elección, o Lemma de Zorn. Si consideramos un sistema axiomático sin el Axioma de Elección, ¿hay espacios vectoriales que, de forma demostrable, no tengan base?
Respuesta
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Si sólo consideras un sistema sin el axioma de elección no puedes demostrar que existe tal espacio vectorial, simplemente porque mientras no estés asumiendo AC -- podría seguir siendo cierto.
Sin embargo, Andreas Blass demostró en 1984 que si todo espacio vectorial tiene una base, el axioma de elección se cumple [1]. En particular, significa que si se asume el axioma de elección falla entonces es demostrable que existe un espacio sin base.
De forma semiconstructiva, la prueba dada por Blass utiliza la equivalencia (en ZF) entre el axioma de elección el axioma de múltiples elección.
El axioma de la elección múltiple (AMC) afirma que dada una familia $\cal A$ de conjuntos no vacíos, tal que cada $A\in\cal A$ tiene al menos dos elementos, entonces existe una función $F$ tal que $F(A)$ es un no vacío, finito, adecuado subconjunto de $A$ para todos $A\in\cal A$ .
Blass utilizó esta equivalencia de la siguiente manera: dada una familia de conjuntos no vacíos define un espacio vectorial utilizando esta familia y por la existencia de una base construye $F$ demostrando que el AMC se mantiene.
Si asumimos que el axioma de elección falla, entonces también AMC falla en este modelo. Por lo tanto, hay una familia de conjuntos que contienen al menos dos elementos, pero no hay $F$ según sea necesario. Utilizando esta familia podemos construir el mismo espacio vectorial, pero ahora podemos demostrar que no tiene base. Si tuviera una base, la prueba de Blass se seguiría y se encontraría una contradicción.
Tenga en cuenta que esto es semi-constructiva ya que no podemos señalar constructivamente una familia de conjuntos no vacíos sin función de elección, simplemente porque es consistente que no haya ninguno de ellos. Sin embargo, si suponemos que el axioma de elección falla, entonces sólo podemos inferir que tal familia existe, darle un nombre y seguir adelante. Para más información, véase [2].
Podemos asumir axiomas "anti-elección" que también nos dicen que determinados conjuntos no pueden estar bien ordenados (o familias sin funciones de elección), por ejemplo podemos asumir que los números reales no pueden estar bien ordenados o incluso una suposición más fuerte: podemos asumir directamente que los números reales no tienen una base sobre $\mathbb Q$ . Tales supuestos son efectivamente consistentes con ZF, pero son versiones "enfocadas" de la negación del axioma de elección, nos dicen mucho sobre cómo falla.
Bibliografía:
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Andreas Blass, La existencia de bases implica el axioma de elección . Matemáticas contemporáneas vol. 31 pp. 31-33, 1984.
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Asaf Karagila, ¿Qué conjunto no es ordenable? Matemáticas StackExchange , Sep. 2012.
