suponga que p(y|theta) es una distribución poisson con el parámetro de la media theta. demuestre que la media muestral es un estimador eficiente de theta.

Question

(Problema 9.3) Supongamos que $p(y \mid \theta)$ es una distribución de Poisson con parámetro de media $\theta$ . Demuestre que la media muestral es un estimador eficiente de $\theta$ .

Trabajo mostrado:

$$\hat V(\theta) = \frac{1}{n \operatorname{E}[(\frac{\partial}{\partial\theta} \log f(y \mid \theta))^2]}$$ $$\begin{align*} \frac{\partial}{\partial \theta} \log f(y \mid \theta) &= \frac{\partial}{\partial \theta} \left[\log \frac{e^{-\theta} \theta^y}{y!} \right] = \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \log e^{-\theta} \theta^y \frac{1}{y!} \right] \\ &= \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ -\theta + y \log \theta - \log y! \right] \\ &= -1 + \frac{y}{\theta}. \end{align*} $$

Sólo sé hacer cálculos básicos, así que necesito una explicación detallada sobre este problema. Si no puede describirlo sin problemas, debido al entorno en línea, por favor, hágame saber un libro (o el nombre del capítulo) que puedo consultar.

q1. ¿El símbolo que precede al $\log$ tienen el mismo significado que $d$ (diferencial)? * es muy bueno para mí, si usted ilustra sobre este poco...

q2. No sé cómo ha procedido esta ecuación(nota). Por favor, explíquemelo paso a paso.

q3. $f(y\mid \theta)$ ¿es la regla de Bayes? Creo que no lo es, pero si no lo es ¿por qué está escrita así? Además, ¿qué es?

Gracias por leer a pesar de mi mala gramática.

Answer 1

Q1. El símbolo $\partial$ se refiere a parcial diferenciación. Si se tiene una función de una sola variable, por ejemplo $$f(x) = x^2,$$ entonces la primera derivada de esta función con respecto a esta única variable se escribiría como $$\frac{d}{dx}\left[f(x)\right] = \frac{df}{dx} = 2x.$$ Si se tiene una función de más de una variable, por ejemplo $$f(x,y) = x^2 y + y^3 - 12,$$ entonces podemos calcular las derivadas parciales con respecto a $x$ o $y$ y están escritas $$\frac{\partial}{\partial x}\left[f(x,y)\right] = \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy, \quad \frac{\partial}{\partial y} \left[f(x,y)\right] = \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3y^2.$$ En este caso, la razón por la que utilizamos una derivada parcial es porque la log-verosimilitud $\log f(y \mid \theta)$ es una función de $y$ así como $\theta$ .

Q2. Su pregunta es demasiado amplia. Tiene que ser más específico sobre lo que no entiende de esta solución. En general, lo que se está calculando aquí es el Límite inferior de Cramer-Rao para la varianza de la media muestral de una muestra IID $\boldsymbol y = (y_1, \ldots, y_n)$ de tamaño $n$ extraído de una distribución de Poisson con media desconocida $\theta$ . Entonces, si podemos demostrar que la varianza de la media muestral de este estimador alcanza este límite, que este estimador es un UMVUE (ya que la media de la muestra es insesgada).

También debo señalar aquí que la notación que se utilizó anteriormente es incorrecta: $\hat V (\theta)$ no tiene sentido. En su lugar, debería decir $$\operatorname{Var}[\hat\theta],$$ y la igualdad después de esto no es realmente una igualdad, sino una desigualdad; es decir, debería decir $$\operatorname{Var}[\hat\theta] \ge \frac{1}{n \operatorname{E}[(\frac{\partial}{\partial\theta} \log f(y \mid \theta))^2]}.$$ Esto se debe a que se está calculando un límite inferior de la varianza del estimador $\hat \theta$ que en este caso es la media muestral $\bar y = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i$ . No está calculando una estimación de la varianza de un parámetro, que es lo que $\hat V(\theta)$ no tiene. Un parámetro no es una variable aleatoria: no tiene varianza y no se ha aplicado ninguna hipótesis de distribución en este contexto.

Q3. $f(y \mid \theta)$ describe la densidad condicional de una distribución, dado el parámetro $\theta$ .