Comprender la esfera de Bloch

Question

Se suele decir que los puntos de la superficie del Esfera de Bloch representan los estados puros de un sistema cuántico de 2 niveles. Siendo un estado puro de la forma: $$ |\psi\rangle = a |0\rangle+b |1\rangle $$ Y típicamente los polos norte y sur de esta esfera corresponden a la $|0\rangle$ y $|1\rangle$ estados. Imagen: ("Bloch Sphere" by Glosser.ca - Own work. Con licencia CC BY-SA 3.0 vía Commons - https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bloch_Sphere.svg#/media/File:Bloch_Sphere.svg )

1. ¿Pero no es esto muy confuso? Si se eligen los polos norte y sur, entonces ambos estados están en la misma línea y ya no son ortogonales, así que ¿cómo se puede elegir un punto arbitrario $p$ en la superficie de la esfera y posiblemente descomponerla en términos de $0,1$ estados con el fin de encontrar $a$ y $b$ ? ¿Significa esto que no hay que considerar la esfera de Bloch como una base válida para nuestro sistema y que es sólo una ayuda para la visualización?

2. He visto descomposiciones en términos de los ángulos internos de la esfera, en la forma de: $a=\cos{\theta/2}$ y $b=e^{i\phi}\sin{\theta/2}$ avec $\theta$ el ángulo polar y $\phi$ el ángulo azimutal. Pero no tengo ni idea de cómo se obtienen cuando $0,1$ estados están en la misma línea.

Answer 1

La esfera de Bloch es maravillosamente minimalista.

Convencionalmente, un qubit tiene cuatro parámetros reales; $a e^{i\chi} |0\rangle + b e^{i\phi} |1\rangle.$ Sin embargo, un rápido análisis revela que el $a$ -vs- $b$ sólo tiene un grado de libertad debido a la normalización $a^2 + b^2 = 1$ y una visión más cuidadosa revela que, en la forma en que construimos los valores de expectativa en QM, no se puede observar $\chi$ o $\phi$ mismos, sino sólo la diferencia $\chi - \phi$ que es $2\pi$ -(Esto se trata más adelante en los comentarios, pero brevemente: QM sólo predice promedios $\langle \psi|\hat A|\psi\rangle$ y el desplazamiento de la fase global de una función de onda en algún $|\psi\rangle\mapsto e^{i\theta}|\psi\rangle$ por lo que se anula en cada predicción).

Así que si piensas en lo más abstracto sobre lo que necesitas, sólo tienes que dibujar una línea de 0 a 1 que represente el $a$ -vs- $b$ compensación: ¿cuánto es esto en uno de estos dos estados? Luego se dibujan círculos a su alrededor: ¿cuál es la diferencia de fase? Lo que impide que sea un cilindro es que la diferencia de fase deja de importar cuando $a=1$ o $b=1$ por lo que los círculos deben reducirse a puntos. Et voila se tiene algo que es topológicamente equivalente a una esfera. La esfera contiene toda la información que necesitas para los experimentos, y nada más.

También es física, una esfera real en el espacio 3D.

Este es el hecho más impactante. Con la simple imagen de arriba, se podría pensar que se trata de una matemática inofensiva: ¡no! De hecho, el qubit por excelencia es un spin- $\frac 12$ sistema, con las matrices de Pauli indicando la forma en que el sistema está girando alrededor del $x$ , $y$ o $z$ ejes. Se trata de un sistema en el que identificamos $|0\rangle$ avec $|\uparrow\rangle$ , $|1\rangle$ avec $|\downarrow\rangle$ y la diferencia de fase viene dada por la elección del $+x$ -eje a través de $|{+x}\rangle = \sqrt{\frac 12} |0\rangle + \sqrt{\frac 12} |1\rangle.$

Las direcciones ortogonales del espacio no son ortogonales de Hilbert en el tratamiento QM, porque simplemente no es así como funciona la física de este sistema. Los estados ortogonales de Hilbert son inconmensurables: si estás en este estado, definitivamente no estás en aquel. Pero este sistema tiene un espín con una magnitud total definida de $\sqrt{\langle L^2 \rangle} = \sqrt{3/4} \hbar$ pero sólo $\hbar/2$ de ella apunta en la dirección en la que está "más apuntada", lo que significa que debe estar distribuida en una especie de "anillo" alrededor de esa dirección. En consecuencia, cuando se mide que está en el $+z$ -dirección resulta que también es una especie de medio en el $+x$ , la mitad en el $-x$ dirección. (Aquí "más o menos" significa: es, si se sigue con un $x$ -medida).

Así que preguntemos "en qué dirección está el giro $\frac12$ más hilado". Para ello hay que construir un observable. Por poner un ejemplo, si el $+z$ -la dirección es la más hilada por un estado $|\uparrow\rangle$ entonces el observable para $z$ -spin es la matriz de Pauli $\sigma_z = |\uparrow\rangle\langle\uparrow| - |\downarrow\rangle\langle\downarrow|,$ $+1$ en ese estado, $-1$ en el estado perpendicular de Hilbert $\langle \downarrow | \uparrow \rangle = 0.$ Del mismo modo, si se observa $\sigma_x = |\uparrow\rangle \langle \downarrow | + |\downarrow \rangle\langle \uparrow |$ verá que el $|{+x}\rangle$ definido anteriormente es un vector propio con valor propio +1 y, del mismo modo, debe haber un $|{-x}\rangle \propto |\uparrow\rangle - |\downarrow\rangle$ satisfaciendo $\langle {+x}|{-x}\rangle = 0,$ y puedes recuperar $\sigma_x = |{+x}\rangle\langle{+x}| - |{-x}\rangle\langle{-x}|.$

Entonces el estado ortogonal a $|\psi\rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle$ es $|\bar \psi\rangle = \beta^*|0\rangle - \alpha^* |1\rangle,$ por lo que el observable que es +1 en ese estado o -1 en el estado opuesto es: $$ \begin{align} |\psi\rangle\langle\psi| - |\bar\psi\rangle\langle\bar\psi| &= \begin{bmatrix}\alpha\\\beta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha^*&\beta^*\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}\beta^*\\-\alpha^*\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\beta & -\alpha\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}|\alpha|^2 - |\beta|^2 & 2 \alpha\beta^*\\ 2\alpha^*\beta & |\beta|^2 - |\alpha|^2\end{bmatrix} \end{align}$$ Escribir esto como $v_i \sigma_i$ donde el $\sigma_i$ son las matrices de Pauli que obtenemos: $$v_z = |\alpha|^2 - |\beta|^2,\\ v_x + i v_y = 2 \alpha^* \beta.$$ Dejando ahora $\alpha = \cos(\theta/2)$ y $\beta = \sin(\theta/2) e^{i\phi}$ descubrimos que estos son: $$\begin{align} v_z &= \cos^2(\theta/2) - \sin^2(\theta/2) &=&~ \cos \theta,\\ v_x &= 2 \cos(\theta/2)\sin(\theta/2) ~\cos(\phi) &=&~ \sin \theta~\cos\phi, \\ v_y &= 2 \cos(\theta/2)\sin(\theta/2) ~\sin(\phi) &=&~ \sin \theta~\sin\phi. \end{align}$$ Así que la receta de Bloch utiliza un $(\theta, \phi)$ que son simplemente las coordenadas esféricas del punto de la esfera que tal $|\psi\rangle$ es "la mayoría de los giros en la dirección de".

Así que en lugar de ser una visualización puramente teórica, podemos decir que el espín $\frac 12$ el qubit prototípico, ¡gira realmente en la dirección dada por las coordenadas de la esfera de Bloch! (Al menos, en la medida en que un sistema con espín gira hacia arriba). despiadadamente físico : se quiere agitar en un rincón matemático y se dice: "no, para los sistemas reales se me apunta en esta dirección en el espacio 3D real y tienes que prestarme atención".

Cómo responden estos a sus preguntas.

1. Sí, N y S son espacialmente paralelas pero en el espacio de Hilbert son ortogonales. Esta ortogonalidad de Hilbert significa que un sistema no puede ser a la vez spin-up y spin-down. A la inversa, la falta de ortogonalidad de Hilbert entre, por ejemplo, el $z$ y $x$ significa que cuando se mide el $z$ -espín todavía se pueden tener mediciones no nulas del espín en el $x$ -dirección, que es una característica clave de estos sistemas. En efecto, es un poco confuso tener dos nociones diferentes de "ortogonal", una para el espacio físico y otra para el espacio de Hilbert, pero viene de tener dos espacios diferentes a los que estás mirando.

2. Una forma de ver por qué los ángulos son físicamente muy útiles es la que se da más arriba. Pero como se mencionó en la primera sección, también se puede ver como un ejercicio puramente matemático de tratar de describir el espacio de configuración con una esfera: entonces se tiene naturalmente el ángulo polar como la diferencia de fase, que es $2\pi$ -periódica, por lo que es una coordenada naturalmente "azimutal"; por lo tanto, la forma en que la coordenada se encuentra a lo largo de 0/1 debe ser una coordenada "polar" con $0$ asignación a $|0\rangle$ y $\pi$ asignación a $|1\rangle$ . La forma obvia de hacerlo es con $\cos(\theta/2)$ mapeo de 1 a 0 a lo largo de este rango, ya que la amplitud para el $|0\rangle$ estado; el hecho de que $\cos^2 + \sin^2 = 1$ significa que el $|1\rangle$ estado debe recoger un $\sin(\theta/2)$ amplitud para que coincida con ella.

Answer 2

A. Sistemas de dos estados

Sea un sistema de dos estados, siendo los estados independientes de las coordenadas espacio-temporales. En este caso el sistema tiene un nuevo grado de libertad . Un ejemplo clásico es una partícula con momento angular de espín $\:\frac12 \hbar\:$ .

Dejemos que a los dos estados correspondan los estados básicos \begin{equation} \vert u\rangle= \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} \N - Texto arriba estado \N -, \N - cuadrado \N - Convertir d\N-rangle= \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} \N - Texto de estado de baja. \N - Etiqueta {01}\N - Etiqueta {01} \N - fin {ecuación} llamado arriba y abajo estado, respectivamente.

El estado del sistema se expresa mediante el vector de estado \begin{equation} \vert\psi\rangle = \xi\vert u\rangle \boldsymbol{+} \eta\vert d\rangle \quad \text{where} \:\:\:\xi,\eta \in \mathbb{C}\quad \text{and}\:\:\: \vert\xi\vert^{2} \boldsymbol{+}\vert\eta\vert^{2} =1 \tag{02}\label{02} \end{equation} Los números complejos $\:\xi,\eta\:$ son las amplitudes de probabilidad y los reales no negativos $\:\vert\xi\vert^{2},\vert\eta\vert^{2}\:$ las probabilidades de que el sistema se encuentre en el estado $\:\vert u\rangle,\vert d\rangle\:$ respectivamente.

El espacio de Hilbert de los estados del sistema es en muchos aspectos idéntico a (la esfera unitaria de) el espacio complejo $\:\mathbb{C}^{2}$ .

Un observable del sistema estaría representado por un $\:2\times2\:$ matriz hermitiana A de la forma \begin{equation} A= \begin{bmatrix} a_3 & a_1\!\boldsymbol{-}\!ia_2 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ a_1\!\boldsymbol{+}\!ia_2 & a_4\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \N - texto con \(a_1,a_2,a_3,a_4)\Nen \Nmathbb{R}^{4} \etiqueta03 \Fin de la ecuación por lo que el espacio lineal del $\:2\times2\:$ matrices hermitianas es en muchos aspectos idéntica a $\:\mathbb{R}^{4}$ . A partir de la base habitual de $\:\mathbb{R}^{4}\:$ construimos una base para este espacio de matrices \begin{equation} E_1= \begin{bmatrix} 0 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}1 \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}0\vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \N - cuadrado , \N - \N - \N - \N -: E_2= \begin{bmatrix} 0 & \!\!\boldsymbol{-} i \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ i & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}} 0\vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \N - cuadrado , \N - \N - \N - \N -: E_3= \begin{bmatrix} 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}} 0 \vphantom{\frac{a}{b}}\\ 0 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}} 0\vphantom{\frac{a}{b}} \end{bmatrix} \N - cuadrado , \N - \N - \N - \N -: E_4= \begin{bmatrix} 0 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}0 \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ 0 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}1 \vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} |etiqueta{04} {etiqueta{04} \N - fin {equipamiento}

Ahora, si los estados básicos $\:\vert u\rangle,\vert d\rangle\:$ de la ecuación \eqref {01} corresponden a los estados propios de los valores propios $\:\boldsymbol{+}1,\boldsymbol{-}1\:$ respectivamente de un observable, entonces este observable estaría representado por la matriz
\begin{equation} \begin{bmatrix} 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}} 0 \vphantom{\frac{a}{b}}\\ 0 & \!\!\boldsymbol{-} 1\vphantom{\frac{a}{b}} \end{bmatrix} |etiqueta{05} {etiqueta{05} \N - fin {equipamiento} no está incluido en \eqref {04}. Pero en lugar de la base \eqref {04} podríamos hacer uso de las siguientes combinaciones lineales de las mismas \begin{align} E'_1 \!=\!E_1\!=\!& \begin{bmatrix} 0 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}1 \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}0\vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \qquad\qquad\qquad \¡\N - ¡E'_2 \N -! =\N - E_2! \begin{bmatrix} 0 & \!\!\boldsymbol{-} i \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ i & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}} 0\vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \No es un número E'_3\!=\!\left(E_3\!-\!E_4\right)\!=\!& \begin{bmatrix} 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}} 0 \vphantom{\frac{a}{b}}\\ 0 & \!\!\boldsymbol{-} 1\vphantom{\frac{a}{b}} \end{bmatrix} \qquad E'_4 \!=\!\left(E_3+E_4\right)\!=\! \begin{bmatrix} 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}0 \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ 0 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}1 \vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \N - Etiqueta 06. \N - fin {align} y cambiar los símbolos y la disposición

\begin{equation} I= \begin{bmatrix} 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}0 \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ 0 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}1 \vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \N - cuadrado , \N - \N - \N -: \sigma_1= \begin{bmatrix} 0 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}1 \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}0\vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \N - cuadrado , \N - \N - \N -: \sigma_2= \begin{bmatrix} 0 & \!\!\boldsymbol{-} i \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ i & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}} 0\vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \N - cuadrado , \N - \N - \N -: \sigma_3= \begin{bmatrix} 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}} 0 \vphantom{\frac{a}{b}}\\ 0 & \!\!\boldsymbol{-} 1\vphantom{\frac{a}{b}} \end{bmatrix} \N - Etiqueta {07} \N - fin {equipamiento} donde $\:\boldsymbol{\sigma}=\left(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\right)\:$ el Matrices de Pauli .

Ahora, los estados básicos $\:\vert u\rangle,\vert d\rangle\:$ de la ecuación \eqref {01} son estados propios de $\:\sigma_3\:$ por lo que es necesario expresarlo con el subíndice $\:'3'\:$ \begin{equation} \vert u_3\rangle= \begin{bmatrix} \:\:1\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \:\:0\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \N -, \N - cuadrilla \N - Convertir d_3\N-rangle= \begin{bmatrix} \:\:0\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \:\:1\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \N - Etiqueta {08} \N - fin {equipamiento} Esto debe hacerse para las amplitudes de probabilidad $\:\xi,\eta\:$ también \begin{equation} \vert\psi\rangle = \xi_3\vert u_3\rangle \boldsymbol{+} \eta_3\vert d_3\rangle \quad \text{where} \:\:\:\xi_3,\eta_3\in \mathbb{C}\quad \text{and}\:\:\: \vert\xi_3\vert^{2} \boldsymbol{+}\vert\eta_3\vert^{2} =1 \tag{09}\label{09} \end{equation} La razón es que podemos utilizar como estados básicos del espacio de Hilbert igualmente los estados propios $\:\vert u_1\rangle,\vert d_1\rangle\:$ de los valores propios $\:\boldsymbol{+}1,\boldsymbol{-}1\:$ respectivamente de $\:\sigma_1\:$ \begin{equation} \vert u_1\rangle=\frac{\sqrt{2}}{2} \begin{bmatrix} \:\:1\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \:\:1\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix}=\frac{\sqrt{2}}{2} \Izquierda (Convertir el ramo u_3 en símbolo de negrita, convertir el ramo d_3 en derecho) \N - cuadrado \vert d_1\rangle=\frac{\sqrt{2}}{2} \begin{bmatrix} \:\:1\:\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ -1\:\,\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix}=\frac{\sqrt{2}}{2} \Izquierda (Convertir el ramo de la U en símbolo de negrita - Convertir el ramo de la D en derecho) \etiqueta{10} {etiqueta{10} \fin {equipamiento} para que \begin{equation} \vert\psi\rangle = \xi_1\vert u_1\rangle \boldsymbol{+} \eta_1\vert d_1\rangle \quad \text{where} \:\:\:\xi_1,\eta_1\in \mathbb{C}\quad \text{and}\:\:\: \vert\xi_1\vert^{2} \boldsymbol{+}\vert\eta_1\vert^{2} =1 \tag{11}\label{11} \end{equation} o el correspondiente a $\:\sigma_2\:$ \begin{equation} \vert u_2\rangle=\frac{\sqrt{2}}{2} \begin{bmatrix} \:\:1\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \:\:i\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix}=\frac{\sqrt{2}}{2} \Izquierda (Convertir el ramo u_3 en símbolo de negrita, convertir el ramo d_3 en derecho) \N - cuadrado \vert d_2\rangle=\frac{\sqrt{2}}{2} \begin{bmatrix} \:\:1\:\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ -i\:\,\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix}=\frac{\sqrt{2}}{2} \Izquierda (convertir el símbolo en negrita en un ramo). \etiqueta{12} \fin {equipamiento} para que \begin{equation} \vert\psi\rangle = \xi_2\vert u_2\rangle \boldsymbol{+} \eta_2\vert d_2\rangle \quad \text{where} \:\:\:\xi_2,\eta_2\in \mathbb{C}\quad \text{and}\:\:\: \vert\xi_2\vert^{2} \boldsymbol{+}\vert\eta_2\vert^{2} =1 \tag{13}\label{13} \end{equation} Los estados propios $\vert u_1\rangle,\vert d_1\rangle,\vert u_2\rangle,\vert d_2\rangle$ se muestran esquemáticamente en la Figura-04.

Ahora, \begin{align} \xi_1 & =\tfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\xi_3\boldsymbol{+}\eta_3\right) \tag{14a}\label{14a}\\ \eta_1 & =\tfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\xi_3\boldsymbol{-}\eta_3\right) \tag{14b}\label{14b} \end{align} así que \begin{align} \vert\xi_1\vert ^{2} & =\frac12\boldsymbol{+}\mathrm{Re}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right) \tag{15a}\label{15a}\\ \vert \eta_1\vert^{2} & =\frac12\boldsymbol{-}\mathrm{Re}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right) \tag{15b}\label{15b} \end{align} También \begin{align} \xi_2 & =\tfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\xi_3\boldsymbol{-}i\eta_3\right) \tag{16a}\label{16a}\\ \eta_2 & =\tfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\xi_3\boldsymbol{+}i\eta_3\right) \tag{16b}\label{16b} \end{align} así que \begin{align} \vert\xi_2\vert ^{2} & =\frac12\boldsymbol{-}\mathrm{Im}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right) \tag{17a}\label{17a}\\ \vert \eta_2\vert^{2} & =\frac12\boldsymbol{+}\mathrm{Im}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right) \tag{17b}\label{17b} \end{align} En las ecuaciones \eqref {15a}, \eqref {15b}, \eqref {17a}, \eqref {17b} por $\:z^{\boldsymbol{*}}\:$ denotamos el conjugado complejo del número complejo $\:z\:$ y por $\:\mathrm{Re}\left(z\right),\mathrm{Im}\left(z\right)\:$ las partes real e imaginaria de $\:z$ .

Desde $\:\vert\xi_3\vert^{2} \boldsymbol{+}\vert\eta_3\vert^{2} =1\:$ fijamos (véase la Figura-01) \begin{align} \xi_3 & =\cos\omega_3\cdot e^{i\alpha_3} \:\:,\qquad 0\le\omega_3\le\frac{\pi}{2} \tag{18a}\label{18a}\\ \eta_3 & =\sin\omega_3\cdot e^{i\beta_3} \tag{18b}\label{18b}\\ \theta_3 & =2\omega_3=\text{polar angle with respect to $x_3-$axis}\:\:,\qquad 0\le\theta_3\le \pi \tag{18c}\label{18c} \end{align} así que \begin{align} \xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3 & =\cos\omega_3\cdot e^{i\alpha_3}\sin\omega_3\cdot e^{\boldsymbol{-}i\beta_3}=\cos\left(\dfrac{\theta_3}{2}\right)\cdot\sin\left(\dfrac{\theta_3}{2}\right)\cdot e^{\boldsymbol{-}i\left(\beta_3 \boldsymbol{-}\alpha_3\right)} =\dfrac{1}{2}\sin\theta_3\cdot e^{ \boldsymbol{-}i\phi_3} \tag{19a}\label{19a}\\ \phi_3 & = \beta_3\boldsymbol{-}\alpha_3 =\text{azimuthal angle with respect to $x_3-$axis}\:\:,\qquad 0\le\phi_3\le 2\pi \tag{19b}\label{19b} \end{align} Según estas definiciones \begin{align} \mathrm{Re}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right) & =\mathrm{Re}\left(\dfrac{1}{2}\sin\theta_3\cdot e^{ \boldsymbol{-}i\phi_3}\right)=\dfrac{1}{2}\sin\theta_3\cos\phi_3=\rho_3\cos\phi_3 \tag{20a}\label{20a}\\ \mathrm{Im}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right) & =\mathrm{Im}\left(\dfrac{1}{2}\sin\theta_3\cdot e^{ \boldsymbol{-}i\phi_3}\right)=\boldsymbol{-}\dfrac{1}{2}\sin\theta_3\sin\phi_3=\boldsymbol{-}\rho_3\sin\phi_3 \tag{20b}\label{20b}\\ \rho_3 & =\vert\xi_3\vert \cdot\vert\eta_3\vert =\cos\omega_3\sin\omega_3 =\dfrac{1}{2}\sin\theta_3 \tag{20c}\label{20c} \end{align} y ecuaciones \eqref {15a}, \eqref {15b}, \eqref {17a}, \eqref {17b} dan las siguientes probabilidades \begin{align} \vert\xi_1\vert ^{2} & =\frac12\boldsymbol{+}\mathrm{Re}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right)=\frac12\boldsymbol{+}\rho_3\cos\phi_3=\frac12\left(1\boldsymbol{+}\sin\theta_3\cos\phi_3\right) \tag{21a}\label{21a}\\ \vert \eta_1\vert^{2} & =\frac12\boldsymbol{-}\mathrm{Re}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right)=\frac12\boldsymbol{-}\rho_3\cos\phi_3=\frac12\left(1\boldsymbol{-}\sin\theta_3\cos\phi_3\right) \tag{21b}\label{21b} \end{align} \begin{align} \vert\xi_2\vert ^{2} & =\frac12\boldsymbol{-}\mathrm{Im}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right)=\frac12\boldsymbol{+}\rho_3\sin\phi_3=\frac12\left(1\boldsymbol{+}\sin\theta_3\sin\phi_3\right) \tag{22a}\label{22a}\\ \vert \eta_2\vert^{2} & =\frac12\boldsymbol{+}\mathrm{Im}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right)=\frac12\boldsymbol{-}\rho_3\sin\phi_3=\frac12\left(1\boldsymbol{-}\sin\theta_3\sin\phi_3\right) \tag{22b}\label{22b} \end{align}

Tenga en cuenta que el estado $\vert\psi\rangle$ de la ecuación \eqref {09} podría expresarse como \begin{equation} \vert\psi\rangle \boldsymbol{=}e^{i\alpha_3}\left[\cos\left(\dfrac{\theta_3}{2}\right)\vert u_3\rangle \boldsymbol{+} e^{i\phi_3}\sin\left(\dfrac{\theta_3}{2}\right)\vert d_3\rangle \right] \tag{23}\label{23} \end{equation} o ignorando el factor de fase $e^{i\alpha_3}$ \begin{equation} \vert\psi\rangle \boldsymbol{=}\cos\left(\dfrac{\theta_3}{2}\right)\vert u_3\rangle \boldsymbol{+} e^{i\phi_3}\sin\left(\dfrac{\theta_3}{2}\right)\vert d_3\rangle \tag{24}\label{24} \end{equation}

---

B. En la esfera - En la bola

En la Figura-01 vemos los detalles de las definiciones \eqref {18a}, \eqref {18b} y \eqref {18c}. Esta es una vista plana desde un punto en el plano del círculo $\:\rm{K_3}\Xi$ en la Figura-03. Obsérvese que esta Figura-01 es válida si todos los subíndices $\:'3'\:$ será sustituido por $\:'1'\:$ o $\:'2'$ . A continuación, se ofrece la definición y el significado de varios puntos.

En la Figura-02 vemos la geometría de las ecuaciones \eqref {21a}, \eqref {21b} y \eqref {22a}, \eqref {22b}. Esta es una vista plana desde un punto en los positivos de la $\:x_3-$ eje.

Vea una vista en 3D de la Figura-03 aquí

En la Figura-03 tenemos una esfera de diámetro 1 en un espacio tridimensional $\:\mathbb{R}^{3}\:$ no es idéntico al espacio físico. En la esfera un punto $\:\Xi\:$ representa un estado del sistema \begin{equation} \psi =\xi_1\vert u_1\rangle \boldsymbol{+} \eta_1\vert d_1\rangle = \xi_2\vert u_2\rangle \boldsymbol{+} \eta_2\vert d_2\rangle = \xi_3\vert u_3\rangle \boldsymbol{+} \eta_3\vert d_3\rangle \tag{25}\label{25} \end{equation} Ahora para $\:\jmath=1,2,3\:$ \begin{align} \rm A_{\boldsymbol{\jmath}} & = point\:\:on\:\:+1/2\:\:of\:\:x_{\boldsymbol{\jmath}}\!-\!axis\:\:representing\:\:the\:\: \vert u_{\boldsymbol{\jmath}}\rangle\:\: eigenstate \tag{26.01}\label{26.01}\\ \rm B_{\boldsymbol{\jmath}} & = point\:\:on\:\:-1/2\:\:of\:\:x_{\boldsymbol{\jmath}}\!-\!axis\:\:representing\:\:the\:\: \vert d_{\boldsymbol{\jmath}}\rangle\:\: eigenstate \tag{26.02}\label{26.02}\\ \rm K_{\boldsymbol{\jmath}} & = projection\:\:of\:\:the\:\:state\:\:point\:\:\Xi\:\:on\:\: x_{\boldsymbol{\jmath}}\!-\!axis \tag{26.03}\label{26.03}\\ \Xi\rm A_{\boldsymbol{\jmath}} & = \vert\eta_{\boldsymbol{\jmath}}\vert=magnitude\:\: of\:\: probability\:\: amplitude\:\: of \:\: \vert d_{\boldsymbol{\jmath}}\rangle\:\: eigenstate \tag{26.04}\label{26.04}\\ \Xi\rm B_{\boldsymbol{\jmath}} & = \vert\xi_{\boldsymbol{\jmath}}\vert=magnitude\:\: of\:\: probability\:\: amplitude\:\: of \:\: \vert u_{\boldsymbol{\jmath}}\rangle\:\: eigenstate \tag{26.05}\label{26.05}\\ \rm K_{\boldsymbol{\jmath}}\rm A_{\boldsymbol{\jmath}} & = \vert\eta_{\boldsymbol{\jmath}}\vert^{2}= probability\:\: of \:\: \vert d_{\boldsymbol{\jmath}}\rangle\:\: eigenstate \tag{26.06}\label{26.06}\\ \rm K_{\boldsymbol{\jmath}}\rm B_{\boldsymbol{\jmath}} & = \vert\xi_{\boldsymbol{\jmath}}\vert^{2}= probability\:\: of \:\: \vert u_{\boldsymbol{\jmath}}\rangle\:\: eigenstate \tag{26.07}\label{26.07}\\ \theta_{\boldsymbol{\jmath}} & = \angle(\Xi\mathrm O_{\boldsymbol{\jmath}}\mathrm A_{\boldsymbol{\jmath}})= polar\: angle \: with\:respect\:to\:the\:x_{\boldsymbol{\jmath}}\!-\!axis \tag{26.08}\label{26.08}\\ \phi_{\boldsymbol{\jmath}} & = \angle(\Xi\mathrm O_{\boldsymbol{\jmath}}\mathrm A_{\boldsymbol{\jmath}})= azimuthal\: angle \: with\:respect\:to\:the\:x_{\boldsymbol{\jmath}}\!-\!axis \tag{26.09}\label{26.09}\\ \omega_{\boldsymbol{\jmath}} & = \angle(\Xi\mathrm B_{\boldsymbol{\jmath}}\mathrm K_{\boldsymbol{\jmath}})= half\:the\:polar\: angle \: \theta_{\boldsymbol{\jmath}} \tag{26.10}\label{26.10}\\ \rm K_{\boldsymbol{\jmath}}\Xi & = \vert\xi_{\boldsymbol{\jmath}}\vert\cdot\vert\eta_{\boldsymbol{\jmath}}\vert= \rho_{\boldsymbol{\jmath}}= radius\: of \: the\:circle,\:intersection\: of\:the\: sphere \nonumber\\ & \hphantom{=}\:\:with \:the\: plane\:through\:point\:\Xi\:normal\:to\:the\: x_{\boldsymbol{\jmath}}\!-\!axis \tag{26.11}\label{26.11} \end{align}

Answer 3

Se pueden asociar puntos de la superficie de una esfera unitaria con estados de espín puros de la siguiente manera sencilla.

Un punto de la esfera $(n_x,n_y,n_z)$ se asocia a un vector propio del operador $n_x\sigma_x+n_y\sigma_y+n_z\sigma_z$ con un valor propio positivo y viceversa. Esto incluye todos los estados de espín 1/2 de una sola partícula.

Y esto no es azaroso, ni visualización, ni matemática. Si tienes un dispositivo de Stern-Gerlach con una inhomogeneidad de campo magnético apuntando en la dirección $(n_x,n_y,n_z)$ entonces desviará consistentemente ese rayo en una dirección particular cuando tenga ese estado que es eigen a $n_x\sigma_x+n_y\sigma_y+n_z\sigma_z.$

¿Pero no es esto muy confuso? Si se eligen los polos norte y sur, entonces ambos estados están en la misma línea y ya no son ortogonales,

No es confuso en lo más mínimo. La geometría está relacionada con la orientación del dispositivo físico en el laboratorio al que su estado da resultados fiables. El dispositivo orientado de forma opuesta también da resultados fiables. Esto es común para los estados ortogonales que teonorthgonal estados pueden ser eigen para el mismo operador.

Así, diferentes puntos de la esfera de Bloch identifican diferentes orientaciones que dan el resultado "arriba" para diferentes estados. No hay que confundir la orientación del aparato de medida en el espacio 3d con la geometría de los estados en el espacio de espín.

Entonces, ¿cómo se puede elegir un punto arbitrario $p$ en la superficie de la esfera y posiblemente descomponerla en términos de $0,1$ estados con el fin de encontrar $a$ y $b$ ?

Es al revés. ¿Cómo decidiste llamar a un estado 0 y a otro 1? Escogiste una orientación al azar y la llamaste z y orientaste tu dispositivo para que la inhomogeneidad del campo magnético apuntara en esa dirección. Eso te dio un arriba y un abajo.

Pero ahora podemos especificar cualquier estado de giro. Tú mismo tienes un punto arbitrario $(n_x,n_y,n_z)$ entonces encuentre el vector propio de $n_x\sigma_x+n_y\sigma_y+n_z\sigma_z.$ con valor propio positivo. Llámalo $\left|s\right\rangle,$ entonces $$\left|s\right\rangle=\langle 0\left|s\right\rangle\left|0\right\rangle+\langle 1\left|s\right\rangle\left|1\right\rangle$$ así que ahí está su $a$ y $b$ excepto que no conoces la fase y la magnitud global, pero un estado de espín de una sola partícula no tiene uno de esos.

¿Significa esto que no hay que considerar la esfera de Bloch como una base válida para nuestro sistema y que sólo es una ayuda para la visualización?

No, significa que no debes confundir la geometría del laboratorio con la del espacio de Hilbert. La física es una ciencia experimental, por lo que definitivamente están relacionadas, pero no son lo mismo.

Si se quiere proyectar un vector sobre un espacio eigénico no se proyectan las etiquetas entre sí. Puedes tener un estado de espín y otro estado de espín y cuando pones uno a través de un dispositivo de Stern-Gerlach orientado para el otro entonces los grados de libertad espaciales se dividen y se separan en uno que está arriba en esa dirección y otro que está espacialmente abajo de esa dirección y el estado de espín literalmente cambia para apuntar hacia arriba en el rayo que espacialmente fue hacia arriba y para apuntar hacia abajo en el rayo que fue hacia abajo. Así que el espín de una partícula se ha enredado con su propia posición.

El tamaño de la Proyección de Hilbert te dice el tamaño de las partes espaciales que se desviaron y dividieron. Pero tampoco es necesario recordar literalmente reglas como ésa. Si escribes la ecuación de Schrödinger para el dispositivo de Stern-Gerlach, el rayo se divide y se separa en partes del tamaño correcto y los espines se alinean en las dos polarizaciones, y esto sucede sin que le digas que lo haga.

Así que el estado de giro está claro. Te dice la dirección en la que irá de forma fiable si le das una oportunidad. Y si lo pones en un Stern-Gerlach orientado de forma diferente se verá obligado a ir en una de las dos direcciones permitidas por esa orientación y se dividirá e irá en ambas. Para obtener los tamaños de cada parte puedes evolucionar la ecuación de Schrödinger o calcular los vectores propios del operador $n_x\sigma_x+n_y\sigma_y+n_z\sigma_z$ y lo punteamos con el vector propio de valor propio positivo ortogonal al otro vector.

Y sí, hay formas más fáciles de hacerlo y se puede sacar más provecho de ello. Pero espero que veas la otra geometría.

¿Podría mostrar cómo se obtiene entonces el $cos \theta/2$ y $e^{i\phi}$ ¿condiciones?

Estaba usando los operadores de espín de Pauli, si quieres elegir una base puedes escribirlos como matrices (un operador es una función en un espacio vectorial, una matriz sustituye a un operador después de seleccionar una base; el operador existe y es el mismo independientemente de la base que puedas o no seleccionar después). $$n_x\sigma_x+n_y\sigma_y+n_z\sigma_z=\left(\begin{matrix} n_z & n_x-in_y \\ n_x+in_y&-n_z \end{matrix}\right).$$

Y el vector propio con valor propio positivo es $\left(\begin{matrix} -n_x+in_y \\ n_z-1 \end{matrix}\right),$ a menos que $n_z=1$ entonces es $\left(\begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix}\right).$ Tratemos el caso de $n_z=1$ primero, en ese caso $a=1$ y $b=0$ y $\theta=0$ así que $a=\cos(\theta/2)$ , $b=e^{i\phi}\sin(\theta/2)$ todo funciona.

Si se quiere escribir el vector propio como un vector unitario se obtiene $\frac{1}{\sqrt{2-2n_z}}\left(\begin{matrix} -n_x+in_y \\ n_z-1 \end{matrix}\right).$ Si se quiere ajustar la fase para que la primera coordenada sea real y positiva se obtiene $\frac{1}{\sqrt{2-2n_z}\sqrt{n_x^2+n_y^2}}\left(\begin{matrix}n_x^2+n_y^2\\ (n_x+in_y)(1-n_z) \end{matrix}\right).$

El resto es trigonometría, por ejemplo $\frac{n_x+in_y}{\sqrt{n_x^2+n_y^2 }}=e^{i\phi}.$ Así que sólo tenemos que demostrar que $\cos(\theta/2)=\sqrt{\frac{n_x^2+n_y^2}{2-2n_z}}$ y que $\sin(\theta/2)=\sqrt{\frac{1-n_z}{2}}.$ Esta última es una identidad trigonométrica $\sin(\theta/2)=\sqrt{\frac{1-\cos(\theta)}{2}}.$

El primero es $$\sqrt{\frac{n_x^2+n_y^2}{2-2n_z}}=\sqrt{\frac{n_x^2+n_y^2+n_z^2-n_z^2}{2-2n_z}}$$ $$=\sqrt{\frac{1-n_z^2}{2-2n_z}}=\sqrt{\frac{(1-n_z)(1+n_z)}{2-2n_z}}$$ $$=\sqrt{\frac{1+n_z}{2}}=\sqrt{\frac{1+\cos(\theta)}{2}}=\cos(\theta/2).$$

Answer 4

Un mero comentario extendido que racionaliza la buena respuesta de @Timaeus a una forma más memorable.

El vector de estado
$$ |\psi\rangle= \begin{pmatrix} \cos \theta/2 \\ e^{i\phi} \sin \theta/2 \end{pmatrix}$$ define una matriz de densidad de estado puro a través de su operador de proyección, $$\bbox[yellow]{ |\psi\rangle \langle \psi | = \begin{pmatrix} \cos^2 \theta/2 & \sin \theta/2 ~ \cos\theta/2 ~e^{-i\phi} \\ \sin \theta/2 ~ \cos\theta/2 ~e^{i\phi} & \sin^2 \theta/2 \end{pmatrix}=\rho }~. $$ Obsérvese la invariabilidad manifiesta bajo el reajuste global de $|\psi\rangle$ .

El expresión de los principios generales de esta matriz de densidad hermiteana idempotente también lo es, evidentemente, $$ \rho=\frac{1}{2}(1\!\! 1 + \hat n \cdot \vec \sigma) , $$ con $\hat n = (\sin \theta \cos \phi, \; \sin \theta \sin \phi, \; \cos \theta)^T. $

Es decir, el $\hat z$ eje gira hacia el $\hat n$ eje por ángulos de rotación completos (adjunto), especificando una expresión de operador de medio ángulo (espinor, fundamental).

Answer 5

Piensa en el espín del fotón

Pensar en este caso más concreto me ayudó a tener algunas imágenes útiles en mi cabeza. Incluso hay un análogo bien conocido y más orientado a la óptica que vale la pena tener en cuenta: el Esfera de Poincaré .

El espín del fotón es un sistema cuántico de dos estados que como Frobenius menciona es lo que modela la esfera de Bloch.

El espín del fotón también es fácil de entender/visualizar/manipular experimentalmente.

Filtros polarizadores físicos

Primero pensemos en lo más concreto posible: los filtros polarizadores.

Hay dos tipos de filtros polarizadores en los que puedes pensar:

• polarizador lineal, en cualquier ángulo entre -90 y 90.

  Por ejemplo, aquí hay uno a 90 grados:

  

  y aquí hay uno a 45 grados:

  

  y aquí hay uno a 0 grados:

  

  Fuente

  Wikipedia describe algunas formas de crear dichos filtros, y las imágenes de arriba son Filtros Polariod que se utiliza en las gafas de sol y en la fotografía y, por tanto, es fácil de conseguir.

  Desde el punto de vista de la mecánica cuántica, las orientaciones de 90 y 0 grados hacen la misma medición: la única diferencia es que una deja pasar el fotón pero la otra lo bloquea. Pero podemos utilizar ambas por igual para determinar el nivel de polarización vertical lineal del fotón: basta con tomar el complemento el valor.

  Y como cada medida corresponde a un Matriz hermitiana podemos representar tanto el 0 como el 90 con una sola matriz:

  $$M_0 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} $$

  Y la matriz para 45 grados es:

  $$M_+ = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} $$

• polarizador circular, que como explica Wikipedia se suele hacer con una placa de cuarto de onda + un polarizador lineal:

  

  Fuente .

  Su matriz correspondiente es:

  $$M_i = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{bmatrix} $$

Las matrices anteriores son las llamadas Matrices de Pauli .

Algunos vectores de estado interesantes

Ahora demos nombres a 6 polos que representan 6 posibles estados interesantes de los fotones en la esfera de Bloch, e intentemos entender cómo interactúan con los filtros.

Fuente .

$$ \begin{alignat*}{4} &\vert 0\rangle &&= &&\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} &&= \text{linear 90°} \\ &\vert 1\rangle &&= &&\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} &&= \text{linear 0°} \\ &\vert +\rangle &&= \frac{1}{\sqrt{2}} &&\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} &&= \text{linear 45°} \\ &\vert -\rangle &&= \frac{1}{\sqrt{2}} &&\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} &&= \text{linear -45°} \\ &\vert i\rangle &&= \frac{1}{\sqrt{2}} &&\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix} &&= \text{circular clockwise} \\ &\vert -i\rangle &&= \frac{1}{\sqrt{2}} &&\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix} &&= \text{circular counter-clockwise} \\ \end{alignat*} $$

Lo primero que observamos es que las siguientes parejas son todas bases:

• $\vert 0\rangle$ y $\vert 1\rangle$
• $\vert +\rangle$ y $\vert -\rangle$
• $\vert i\rangle$ y $\vert -i\rangle$

Por ejemplo, podríamos representar:

$$ \begin{alignat*}{3} &\vert 0\rangle &&= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert +\rangle &&+ \vert -\rangle) \\ &\vert 1\rangle &&= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert +\rangle &&- \vert -\rangle) \\ &\vert 0\rangle &&= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert i\rangle &&-i \vert -i\rangle) \\ &\vert 1\rangle &&= \frac{1}{\sqrt{2}}(-i\vert i\rangle &&+ i\vert -i\rangle) \end{alignat*} $$

Y entonces, también observamos que:

• $\vert 0\rangle$ y $\vert 1\rangle$ son vectores propios de $M_0$
• $\vert +\rangle$ y $\vert -\rangle$ son vectores propios de $M_+$
• $\vert i\rangle$ y $\vert -i\rangle$ son vectores propios de $M_i$

Si recordamos que el resultado de una medición en mecánica cuántica es el eigenvector de un valor propio, con probabilidad proporcional a la proyección, obtenemos las siguientes probabilidades muestrales para estos experimentos:

• $\vert 0\rangle$ estado en:

  • polarizador lineal 90°: 100% de paso

  • polarizador lineal 0°: 0% de paso

  • polarizador lineal 45°: 45% de paso, porque:

    $$\vert 0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert +\rangle + \vert -\rangle)$$

  • polarizador lineal -45°: 45% de paso

  • polarizadores circulares: 45% de paso. Esto se debe a que un estado lineal 0 puede descomponerse en dos polarizaciones circulares:

    $$ \vert 1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(-i\vert i\rangle +i \vert -i\rangle) $$

• $\vert 1\rangle$ :

  • lineal de 90°: 0% paso
  • lineal 0°: 100% pase
  • lineal de 45°: 45% de paso
  • lineal -45°: 45% de aprobación
  • circular: 45% de aprobados

• $\vert +\rangle$ :

  • lineal de 90°: 45% de paso
  • lineal 0°: 45% de paso
  • lineal 45°: 100% pase
  • lineal -45°: 0% pasa
  • polarizadores circulares: 45% de paso

• $\vert i\rangle$ :

  • lineal de 90°: 45% de paso
  • lineal 0°: 45% de paso
  • lineal de 45°: 45% de paso
  • lineal -45°: 45% de aprobación
  • circular en el sentido de las agujas del reloj: 100% de aciertos
  • circular en sentido contrario a las agujas del reloj: 0% de paso

Fase relativa

Una intuición semiclásica importante que hay que recordar es que:

polarización circular == dos polarizaciones lineales ortogonales 90 grados fuera de fase:

Fuente .

Así, por ejemplo, en:

$$ \vert i\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} + \frac{i}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle $$

tenemos una fase relativa de 90 grados debido a la $i$ diferencia de fase relativa entre $\vert 0\rangle$ y $\frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle$ .

Pero en la diagonal, están en fase con respecto a $\vert 0\rangle$ y $\vert 1\rangle$ :

$$ \vert +\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} + \frac{i}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle $$

por lo que la fase relativa es 0 para esa.

Caminar alrededor de la esfera

Una forma común de representar un estado en la esfera de Bloch es dar sólo los dos $\theta$ y $\phi$ ángulos como se muestra a continuación:

Fuente .

Dado que una esfera no es euclidiana, una buena forma de visualizarla es recorrer algunos caminos fáciles de entender a su alrededor. En la siguiente imagen hacemos dos recorridos:

• empezar en 0, pasar por +, 1, -, y volver a 0
• comienza en 0, pasa por i, 1, -i, y vuelve a 0

Fuente .

Pasar de + a través de i, -, -i y volver a + queda como un ejercicio: el círculo se convertiría en un eclipse oblicuo, y se adelgaza cada vez más en una línea de 45 grados.

Esto lleva a una clara interpretación de los ángulos:

• $\theta$ Cuanto más grande es, más probable es que $\vert 1\rangle$ pasa a ser comparado con $\vert 0\rangle$
• $\phi$ la fase relativa entre $\vert 0\rangle$ y $\vert 1\rangle$ . Esta fase relativa no puede ser detectada por un polarizador vertical u horizontal

¿Cómo podemos pasar de 4 números reales a sólo 2 en el estado?

En la esfera de Bloch, podemos representar el estado con sólo 2 parámetros reales: los ángulos $\theta$ y $\phi$

Pero en los vectores de estado completos más explícitos, parece que hay 2 números complejos, y por tanto 4 números reales:

$$ \begin{alignat*}{4} &\begin{bmatrix}a + ib\\c + id\end{bmatrix} \\ \end{alignat*} $$

La razón por la que hay que eliminar uno de los números es fácil: la probabilidad total tiene que ser 1, y así:

$$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1$$

por lo que en ese punto ya estamos restringidos a un 3 esferas .

La segunda es más interesante: podemos eliminar otro parámetro porque la fase global del estado no puede ser detectada por ningún experimento y por lo tanto somos libres de elegirlo arbitrariamente.

Una fase global es un número imaginario. El módulo de ese número debe ser 1 para mantener la probabilidad total. Los experimentos no pueden detectar los cambios de fase global porque los resultados de la medición:

$$k_0 \vert 0\rangle + k_1 \vert 0\rangle$$

en cualquiera de los filtros es el mismo que el de la medición:

$$\text{phase} \times k_0 \vert 0\rangle + \text{phase} \times k_1 \vert 0\rangle$$

porque $|\text{phase}| = 1$ .

Por lo tanto, una opción natural es elegir una fase global que haga girar el estado de manera que el multiplicador de $\vert 0\rangle$ se convierte en un número real, es decir, se establece $b = 0$ .

Así, por ejemplo, multiplicando por un número imaginario, podríamos mapear estados más generales en otros más restringidos como

$$ \begin{alignat*}{2} &\begin{bmatrix}i\\0\end{bmatrix} \times -i &&= \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} &&= \vert 0\rangle \\ &\begin{bmatrix}-i\\0\end{bmatrix} \times i &&= \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} &&= \vert 0\rangle \\ &\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix} \times -1 &&= \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} &&= \vert 0\rangle \\ &\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}i\\i\end{bmatrix}) \times -i &&= \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} &&= \vert +\rangle \\ \end{alignat*} $$

¿Por qué hay exactamente tres matrices de Pauli?

Creo que hay razones matemáticas profundas y claras que lo explican, ligadas a que son una base del espacio matricial hermitiano de 2x2, como se menciona en: https://physics.stackexchange.com/a/415228/31891 y https://en.wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere#Pure_states y es el quid de la cuestión de por qué se utiliza la esfera de Bloch, pero no lo he entendido del todo.

Pero en términos más prácticos: los tres dispositivos de medición que hemos descrito son las únicas tres posibilidades (hasta rotaciones globales) tales que después de pasar por uno, se pierde toda la información sobre los otros dos (50% de probabilidad en los otros dos experimentos).

Por tanto, son ortogonales en cierto sentido, y máximos, ya que no hay ningún otro experimento que podamos añadir a ese conjunto de experimentos de forma que se mantenga esta propiedad.

Jugar con Quirk

https://algassert.com/quirk

Esta es otra sugerencia que merece la pena. Haz clic en esas imágenes hasta que todo tenga sentido.