¿Se ha utilizado el contenido matemático de "Récoltes et Semailles" de Grothendieck?

Question

Esta pregunta está motivada en parte por Nunca han aparecido papeles de próxima aparición .

Motivación

El libro "Récoltes et Semailles" de Grothendieck ha sido citado en varias ocasiones en este foro. Véanse, por ejemplo, las respuestas a Buenos artículos/libros/ensayos sobre el proceso de pensamiento detrás de la investigación matemática o ¿Qué matemáticos le han influido más? . Sin embargo, estas citas sólo reflejan un aspecto de "Récoltes et Semailles", a saber, la reflexión no técnica sobre las matemáticas y la actividad matemática. Dejando a un lado el maravilloso "Clef du Yin et du Yang", que es una gran lectura casi sin relación con las Matemáticas, recuerdo haber leído en "Récoltes et Semailles" un montón de reflexiones matemáticas técnicas, casi todas ellas por encima de mis posibilidades debido a que sólo tenía un poco de geometría algebraica. Sin embargo, recuerdo haber leído, por ejemplo, la opinión de Grothendieck de que las conjeturas estándar eran falsas, y afirmar que tenía en mente algunas conjeturas relacionadas (que no enuncia con precisión) que podrían resultar ser las correctas. Todavía no sé lo que afirman las conjeturas estándar y, por tanto, no entendí nada, pero sé que mucha gente está trabajando duro para demostrar estas conjeturas. Por eso me he preguntado a menudo cuál era el valor de las afirmaciones matemáticas de Grothendieck (que no se limitan a las conjeturas estándar) en "Récoltes et Semailles".

Las preguntas que me gustaría hacer aquí son las siguientes:

¿Han resultado influyentes las partes matemáticas de "Récoltes et Semailles"? Si es así, ¿hay alguna prueba escrita de ello, o algún relato del desarrollo de las ideas matemáticas que Grothendieck ha expresado en este texto? Si la respuesta a la primera pregunta es negativa, ¿cuáles son las dificultades que entraña la aplicación de las ideas de Grothendieck?

Pensamientos ociosos

En este último caso, se me ocurren algunas posibles explicaciones:

1. Quienes podrían haber desarrollado y difundido estas ideas no leyeron seriamente "Récoltes et Semailles" y, por lo tanto, nadie conoció su existencia.
2. Aquellas personas se tomaban en serio el contenido matemático, pero estaba fuera del alcance de cualquiera entender lo que Grothendieck intentaba conseguir debido al estilo de escritura idiosincrásico.
   En caso de que una de estas dos suposiciones esté respaldada por pruebas, agradecería una respuesta objetiva.
3. Las ideas ya estaban desfasadas o se ha demostrado que son erróneas.
   Si este es el caso, agradecería una referencia.

Epanorthosis

Dado que "Pursuing Stacks" y "Les Dérivateurs" fueron escritos aproximadamente en 1983 y 1990, respectivamente, y han resultado influyentes (véase Página de Maltsiniotis para este último texto, algo menos conocido), me sorprendería que las ideas matemáticas de Grothendieck expresadas en torno a 1985 carecieran de valor.

Answer 1

Pidiendo perdón por permitirme un poco de historia personal (quizás propaganda personal), explicaré cómo acabé aplicando R'ecollte et Semaille. Pido disculpas de antemano por haber interpretado la pregunta de forma tan egocéntrica.

No me acerqué a leerlo todo, pero sí pasé muchas horas sumergiéndome en varias partes mientras era estudiante de posgrado. Serge Lang había puesto su copia en la biblioteca de matemáticas de Yale, un lugar muy acogedor entonces para esconderse entre los estantes y perderse en pensamientos o palabras. Incluso los trozos que leí, por supuesto, fueron difíciles de leer. Sin embargo, una cosa estaba clara incluso para mi comprensión superficial: Grothendieck, en ese momento, estaba insatisfecho con los motivos. Aunque no estaba lo suficientemente informado como para tener una opinión sobre el comentario social del libro, me pregunté bastante un poco si parte del descontento podría tener una fuente puramente matemática.

Una pista llegó poco después, cuando supe de Faltings las ideas de Grothendieck sobre la geometría anabelina. Todavía recuerdo mi reacción inicial a la conjetura de la sección: "Seguramente hay a lo que Faltings respondió con una pregunta característicamente breve: "¿Por qué? Ahora no recuerdo si también está en R&S, pero leí en alguna parte o escuché de alguien que Grothendieck se alegró de que la prueba de la conjetura de Mordell viniera de fuera de la escuela francesa. De nuevo, no tengo opinión sobre el aspecto social de tal sentimiento (suponiendo que la historia sea cierta), pero es interesante especular sobre el contexto matemático.

Había en Orsay y París algunas personas tremendamente poderosas en la geometría aritmética. Szpiro, por su parte, tenía un interés muy vivo en la conjetura de Mordell, como se puede ver en sus escritos y seminarios a finales de los 70 y principios de los 80. Pero, de alguna manera, el asunto no cuajó. Uno sospecha que los hábitos de la escuela de Grothendieck, según la cual las seis operaciones debían establecerse primero en cada situación en la que un problema pareciera digno de ser resuelto, podría ser enormemente útil en algunas situaciones, y limitante en otras. De hecho, mi impresión es que la discusión de Grothendieck sobre las operaciones en R&S tiene un tinte irónico. [Esto bien podría ser un malentendido debido a un francés defectuoso o a una memoria defectuosa]. Años más tarde, tuve una conversación informativa con Jim McClure en Purdue sobre la desaparición de la teoría de gavillas en topología. [La situación ha cambiado desde entonces]. cambiado desde entonces]. Pero ya en los años 80, me di cuenta de que la maquinaria motivacional no encajaba muy bien con la teoría de la homotopía.

Para resumir, estoy sugiriendo que la matemática contenido matemático de la fuerte objeción de Grothendieck a los motivos estaba inextricablemente ligado a sus ideas sobre la teoría de la homotopía, tal como aparecen en "Pursuing Stacks" y en la carta anabeliana a Faltings, y catalizado por su constatación de que la filosofía motivacional había sido de utilidad limitada (quizá incluso un poco una obstrucción) en la demostración de la conjetura de Mordell. Más concretamente, los motivos eran inadecuados para el estudio de los puntos (¡los mapas más básicos entre esquemas!) en cualquier entorno no abeliano, pero el enfoque pragmático de Faltings, que utilizaba todo tipo de técnicas arquimedianas, puede que tampoco fuera del todo del estilo de Grothendieck. De ahí la teoría de la homotopía aritmética.

Correcta o no, esta fue la impresión general que me llevé de la lectura de R&S y de mis conversaciones con Faltings, y me resultó bastante natural empezar a pensar en un enfoque factible de la geometría diofantina que utilizara grupos de homotopía. Como me dan bastante miedo los extremos, fue agradable descubrir finalmente que había que volver a encontrar algunos punto intermedio entre las filosofías anabelina y motivacional para obtener resultados definitivos.

Tal vez sea más bien una historia de inspiración e inferencia, pero no puedo evitar sentir que he aplicado la R&S de alguna manera. (Para una pequeña actualización, véase mi artículo con Coates ici .)

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Añadido, 14 de diciembre: He pensado en esta pregunta de forma intermitente desde que la publiqué, y ahora tengo bastante curiosidad por el fragmento de R&S al que me refería, pero ya no tengo acceso al libro. Así que me pregunto si alguien con conocimientos podría hacer un breve resumen de lo que realmente dice Grothendieck sobre las seis operaciones. Recuerdo que había mucho, y es una cuestión de interés matemático.

Answer 2

Me atrevería a decir que sí, que R&S ha resultado influyente en el sentido matemático. Al menos hizo más visible la "Esquisse d'un programme" de Grothendieck y está claro que temas como la geometría anabeliana o los nuevos fundamentos del álgebra homotópica han sido dos vías de investigación de gran interés en los últimos tiempos. En cuanto a la "topología domesticada", tengo la impresión de que el tema no ha despegado, pero puede que me equivoque[. Editar : Me equivoco: véase el comentario de Thierry Zell después de esto].

También está claro que los motivos han ganado un renovado interés desde los años 90 y la importancia de sus visiones sobre esto (aunque quizás no los detalles específicos) se explica ampliamente en R&S.

En otro orden de cosas, ha manifestado el interés por los módulos D como tema central en la cohomología de las variedades algebraicas, junto con la filosofía de las "seis operaciones" y los "coeficientes cohomológicos", que ha dado lugar a una gran cantidad de resultados y extensiones, incluyendo, por ejemplo, $p$ -adica y logarítmica.

Un tema que quizá no se ha tratado con tanta intensidad es su punto de vista sobre la cohomología de los espacios singulares. Según R&S, debería haber una teoría de los cristales y una teoría de los cocristales sobre cualquier esquema (razonable). Con supuestos de suavidad (sobre una base regular, digamos) deberían coincidir (una especie de "dualidad de Poincaré") pero en el caso general debería haber una relación (relacionada con la naturaleza de la singularidad). Estas ideas se presentan en una serie de notas a pie de página en la 4ª parte de R&S.

Me parece que esta línea de investigación no se ha seguido, principalmente por dos razones. El propio Grothendieck expresó la posibilidad de utilizar la resolución de la singularidad y las técnicas simpliciales (o variantes) para estudiar la cohomología de una variedad singular reduciéndola a su resolución y a la resolución de ciertos subconjuntos abiertos. Esto fue realizado con éxito por Deligne en su "Theorie de Hodge". Sin embargo, la falta de avance en la característica $p$ El caso da sentido al enfoque R&S, pero parece que los matemáticos tienen otras prioridades. Por otra parte, la gran panoplia de nuevos objetos (espacios algebraicos, pilas, objetos algebro-geométricos derivados) posiblemente ha hecho que la gente deje de trabajar en estas cuestiones.

Otro tema de R&S que no se ha tratado es: ¿Cuál es la definición correcta de módulo D (o cristal) sobre $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$ ? No me cabe duda de que se trata de una cuestión realmente difícil de abordar. Los avances hasta ahora han sido pequeños y con mucha maquinaria, estoy pensando en las diversas generalizaciones de la teoría de De Rham-Witt a situaciones de características mixtas.