¿Cuáles son algunos resultados de las matemáticas que tienen pruebas rápidas utilizando la teoría de modelos?

Question

Me estoy preparando para impartir un breve curso sobre "teoría de modelos aplicada" en la UGA este verano. Para atraer a la gente, estoy tratando de crear una GRAN LISTA de resultados en matemáticas que tengan buenas pruebas utilizando la teoría de modelos. (No requiero que la teoría de modelos sea la primera o única prueba del resultado en cuestión).

Comenzaré con algunos ejemplos propios (la atribución es para la prueba teórica del modelo, no para el resultado en sí).

1. Un mapa regular inyectivo de una variedad compleja a sí misma es suryectivo (Ax).

2. La proyección de un conjunto construible es construible (Tarski).

3. Solución del 17º problema de Hilbert (¿Tarski?).

4. Los campos p-ádicos son "casi C_2" (Ax-Kochen).

5. "Casi" toda variedad racionalmente conectada sobre Q_p^{unr} tiene un punto racional (Duesler-Knecht).

6. Mordell-Lang en característica positiva (Hrushovski).

7. Análisis no estándar (Robinson).

[Pero mejor sería: un resultado particular en el análisis que tiene una prueba rápida no estándar].

Añadido : El curso se impartió en julio de 2010. Por lo que a mí respecta, fue bien. Si estáis interesados, los apuntes están disponibles en

http://alpha.math.uga.edu/~pete/MATH8900.html

Gracias a todos los que han respondido a la pregunta. He disfrutado y aprendido de todas las respuestas, aunque (como era de esperar) muchas de ellas no pudieron incluirse en este medio curso introductorio. Sigo interesado en conocer las aplicaciones de la teoría de modelos, así que se agradecen más respuestas.

Answer 1

Se puede demostrar el Teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinómico. Véase ven den Dries y Wilkie, Gromov's theorem on groups of polynomial growth and elementary logic, J Algebra, 89 (1984), 391-396.

Answer 2

Hay muchos resultados en la teoría de los espacios de Banach que se demuestran mediante ultraproductos o cascos no estándar, y la mayoría de los libros sobre el tema contienen unos cuantos. Uno muy bonito y fácil de enunciar es que un espacio de Banach que es uniformemente homeomorfo a un espacio de Hilbert es linealmente homeomorfo a un espacio de Hilbert.

Answer 3

Este https://arxiv.org/abs/0909.2190 es completamente nuevo. ".... Para un grupo lineal simple G, mostramos que un subconjunto finito X con |X X -1 X |/ |X| acotado se acerca a un subgrupo finito, o bien a un subconjunto de un subgrupo algebraico propio de G....". Tengo entendido que la gente de la combinatoria aditiva lo considera útil.

Answer 4

El decimoséptimo problema de Hilbert: Sea $f \in \mathbb{R}(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ sea una función racional que es positiva en todas partes en $\mathbb{R}^n$ . Entonces existen funciones racionales $g_1$ , $g_2$ , ..., $g_N$ tal que $f=\sum g_i^2$ .

Esbozo de prueba: Sea $K$ sea el campo $\mathbb{R}(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ . Si $f$ no es una suma de cuadrados, entonces hay una ordenación total de $K$ donde $f$ es negativo. Sea $L$ sea el cierre real de $K$ con respecto a esa ordenación. Entonces la función racional $f$ evaluado en el punto $(x_1, x_2, \ldots, x_n) \in L^n$ es negativo. Pero la teoría de los campos reales cerrados es completa, así que $f$ debe ser negativo en alguna parte de $\mathbb{R}^n$ , en contra de la hipótesis.

Ver Jacobson Álgebra Básica II para una exposición detallada.

Answer 5

Puede encontrar muchas otras aplicaciones con sólo hojear los títulos de los documentos en el Servidor de preimpresión MODNET (siga este enlace y busque en "Publicaciones" en la parte izquierda de la página). Por ejemplo:

1. "The monomorphism problem in free groups", de L. Ciobanu y A. Ould Houcine (en el que demuestran que es decidible);

2. "An invitation to model-theoretic Galois theory", por A. Medvedev y Ramin Takloo-Bighash -- documento expositivo que explica cómo se puede explicar la correspondencia de Galois utilizando herramientas de teoría de modelos;

3. "On algebraic closure in pseudofinite fields", por O. Beyarslan y E. Hrushovski;

etc.

Además, hay un libro reciente Teoría de modelos con aplicaciones al álgebra y al análisis: v. 1 (LMS Lecture Note series v. 349, Cambridge, 2008) que probablemente sería muy relevante (a juzgar por el índice de contenidos - desafortunadamente no he tenido la oportunidad de leerlo todavía).