¿Cuáles son algunos resultados de las matemáticas que tienen pruebas rápidas utilizando la teoría de modelos?

Question

Me estoy preparando para impartir un breve curso sobre "teoría de modelos aplicada" en la UGA este verano. Para atraer a la gente, estoy tratando de crear una GRAN LISTA de resultados en matemáticas que tengan buenas pruebas utilizando la teoría de modelos. (No requiero que la teoría de modelos sea la primera o única prueba del resultado en cuestión).

Comenzaré con algunos ejemplos propios (la atribución es para la prueba teórica del modelo, no para el resultado en sí).

1. Un mapa regular inyectivo de una variedad compleja a sí misma es suryectivo (Ax).

2. La proyección de un conjunto construible es construible (Tarski).

3. Solución del 17º problema de Hilbert (¿Tarski?).

4. Los campos p-ádicos son "casi C_2" (Ax-Kochen).

5. "Casi" toda variedad racionalmente conectada sobre Q_p^{unr} tiene un punto racional (Duesler-Knecht).

6. Mordell-Lang en característica positiva (Hrushovski).

7. Análisis no estándar (Robinson).

[Pero mejor sería: un resultado particular en el análisis que tiene una prueba rápida no estándar].

Añadido : El curso se impartió en julio de 2010. Por lo que a mí respecta, fue bien. Si estáis interesados, los apuntes están disponibles en

http://alpha.math.uga.edu/~pete/MATH8900.html

Gracias a todos los que han respondido a la pregunta. He disfrutado y aprendido de todas las respuestas, aunque (como era de esperar) muchas de ellas no pudieron incluirse en este medio curso introductorio. Sigo interesado en conocer las aplicaciones de la teoría de modelos, así que se agradecen más respuestas.

Answer 1

La geometría plana es decidible. Es decir, tenemos un algoritmo computable que nos dirá la verdad o falsedad de cualquier afirmación geométrica en el plano cartesiano.

Esto es una consecuencia del teorema de Tarski que muestra que la teoría de los campos reales cerrados admite la eliminación de cuantificadores. El algoritmo de eliminación es efectivo y por tanto la teoría es decidible. Así, tenemos un procedimiento computable para determinar la verdad de cualquier enunciado de primer orden en la estructura (R,+,.,0,1,<). La cuestión es que todos los conceptos clásicos de la geometría plana, en cualquier dimensión finita, son expresables en este lenguaje.

Personalmente, considero que el hecho de que se haya demostrado que la geometría plana es decidible es un profundo logro humano. Al fin y al cabo, durante milenios los matemáticos han luchado con la geometría, y ahora hemos desarrollado un algoritmo computable que, en principio, responde a cualquier pregunta.

Sin embargo, admito que he sido culpable de exagerar la situación: cuando impartí mi primer curso de lógica en la Universidad de Berkeley, después de explicar el teorema algunos de mis alumnos se dirigieron a su siguiente clase, una de geometría con Charles Pugh, y poco después éste llamó a mi puerta preguntando qué quería decir con que la geometría estaba acabada. Así que me sentí avergonzado.

Por supuesto, el algoritmo no es factible: es un tiempo doblemente exponencial. Sin embargo, el hecho de que exista un algoritmo me parece sorprendente. Sin duda, me sorprende aún más que los geómetras parezcan tan a menudo inconscientes del hecho de que están estudiando una teoría decidible.

Answer 2

El Nullstellensatz de Hilbert es una consecuencia de la completitud del modelo de los campos algebraicamente cerrados.

Edición: No tengo una referencia, pero puedo esbozar la prueba. Supongamos que tienes unas ecuaciones polinómicas que no tienen solución sobre ${\mathbb C}$ . Ampliar ${\mathbb C}$ por una solución formal, y luego cerrar algebraicamente para obtener un campo $K$ . El campo $K$ contiene obviamente una solución, pero por la completitud del modelo de los campos algebraicamente cerrados, un enunciado de primer orden es verdadero en un campo algebraicamente cerrado sólo si es verdadero en cada subcampo algebraicamente cerrado que contiene todos sus parámetros. La existencia de una solución a un conjunto finito de ecuaciones polinómicas es un enunciado de primer orden (cuyos parámetros son los coeficientes) y ${\mathbb C}$ es algebraicamente cerrado. QED.

Answer 3

No estoy seguro de si esto es lo que estás buscando, pero el teorema de Tychonoff tiene una prueba rápida de dos líneas en el entorno no estándar una vez que se establece la caracterización no estándar de la compacidad. La caracterización no estándar de la compacidad dice que $X$ es compacto si y sólo si cada $x\in X^*$ está infinitamente cerca de algún punto estándar en $X$ e infinitamente cerca se define en términos de las mónadas de la topología.

Editar: ( Tychonoff ) $X := \prod_{i\in I}X_i$ es compacto si y sólo si cada $X_i$ es compacto.

La dirección de avance es fácil y no requiere ningún análisis no estándar. Basta con utilizar los mapas de proyección.

Ahora supongamos que todos los $X_i$ son compactas y dejemos que $y\in X^*$ entonces $y(i^*)\in (X_i)^*$ . Desde $X_i$ es compacto hay algo de $x(i)\in st(y(i^*))$ y podemos tomar $x\in X$ para ser el producto de los puntos $x(i)$ . Por construcción $x^*\approx y$ y esto establece la dirección hacia atrás.

El teorema anterior junto con su demostración no estándar se puede encontrar en "Nonstandard Analysis" de Martin V $\ddot{a}$ En la página 166, pero estoy seguro de que cualquier otro libro sobre el tema incluirá una demostración del teorema utilizando prácticamente la misma terminología y los mismos conceptos.

Notación : $(-)^*$ es el mapa de extensión, $st(-)$ es el mapa de piezas estándar, y $\approx$ es la relación definida en términos de las mónadas de la topología.

Answer 4

Supongo que esto es un poco tarde para este verano, pero la teoría de las estructuras o-minimales simplificó en gran medida las pruebas en la geometría algebraica real y subanalítica, al hacer hincapié en los conceptos sobre los detalles de fondo (a costa de una pérdida de constructividad, por supuesto, pero ¿qué se puede esperar?).

Cabe destacar que estas dos estructuras son aquellas para las que se conocía la propiedad o-minimal antes de la propia noción se formalizó. Desde entonces se han descubierto muchos más, siendo el más notable probablemente el campo exponencial real (Wilkie) .

Answer 5

Se puede demostrar el Teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinómico. Véase ven den Dries y Wilkie, Gromov's theorem on groups of polynomial growth and elementary logic, J Algebra, 89 (1984), 391-396.