Resolver $X^{\top}XQWW^{\top}-X^{\top}XWW^{\top}+\lambda DQ=0$ ecuación matricial

Question

¿Cómo puedo resolver la siguiente ecuación matricial? Quiero encontrar $Q$ donde las matrices $X, W, D$ y el escalar $\lambda$ se dan.

$X^{\top}XQWW^{\top}-X^{\top}XWW^{\top}+\lambda DQ=0$

$X$ es un $n\times p$ matriz (se da)
$W$ es un $p\times c$ matriz (se da)
$D$ es un $p\times p$ matriz diagonal (está dada)
$\lambda$ es un escalar (está dado)
$Q$ es un $p\times p$ matriz (debería encontrarse)

¿Puede alguien ayudarme?
Gracias.

Answer 1

El truco aquí es utilizar la expansión de Kronecker-vec $${\rm vec}(AQC)=(C^T\otimes A)\,{\rm vec}(Q)=(C^T\otimes A)\,q$$ donde $\Big(q={\rm vec}(Q)\Big)$ representa el vector obtenido al apilar las columnas de $Q$ . Existe una operación inversa para "desapilar" el vector en una matriz. No existe una notación estándar para esa operación, pero la denotaré como $\Big(Q={\rm Mat}(q)\Big)$

Para reducir el desorden visual innecesario, vamos a introducir dos matrices simétricas $$\eqalign{A=X^TX\cr C=WW^T}$$ Sustituyendo en su ecuación se obtiene $$\eqalign{ {\rm vec}(AQC+\lambda DQI_p) &= {\rm vec}(AC) \cr (C\otimes A+\lambda I_p\otimes D)\,q &= {\rm vec}(AC) \cr q &= (C\otimes A+\lambda I_p\otimes D)^{-1}\,{\rm vec}(AC) \cr Q &= {\rm Mat}\Big((C\otimes A+\lambda I_p\otimes D)^{-1}\,{\rm vec}(AC)\Big) \cr\cr }$$