¿Podría un haz de superficies sobre un círculo tener grupo fundamental libre?

Question

En concreto, me preguntaba si si la superficie era no compacta con grupo fundamental libre generado infinitamente, podría el propio haz de superficies tener grupo fundamental libre generado infinitamente. En este caso, el grupo fundamental del haz es $F_\infty \rtimes_\phi \mathbb{Z}$ . A nivel de teoría de grupos, lo anterior puede ocurrir; es decir, existen grupos $F_\infty \rtimes_\phi \mathbb{Z} \cong F_\infty$ como me explicaron aquí:

https://mathoverflow.net/questions/106472/could-f-infty-rtimes-z-be-isomorphic-to-f-infty

Sin embargo, no estoy seguro de que esto pueda llevarse a cabo con un paquete de superficie.

Gracias, Kevin

Answer 1

Dejemos que $1\to K\to F_\infty\to\mathbb{Z}\to 1$ sea una secuencia exacta corta (de modo que $K$ es libre). Deje que $S$ sea una superficie no compacta con grupo fundamental $\pi_1(S)=F_\infty$ y que $X\to S$ sea el espacio de cobertura normal correspondiente a $K\leq \pi_1(S)$ . El grupo de transformaciones de cubierta de $X$ se identifica entonces con $\mathbb{Z}$ . Deberíamos entonces ser capaces de construir nuestro paquete de superficie sobre $S^1$ como $(X\times\mathbb{R})/\mathbb{Z}$ , donde $\mathbb{Z}$ actúa sobre $X$ por la transformación de la cubierta y en $\mathbb{R}$ por la traducción.