Estoy tratando de demostrar lo contrario de la siguiente afirmación:
$|L|<\lambda$ , donde $\lambda$ es tal que $\lambda=\lambda^{<\lambda}$ . Entonces cada estructura $M$ de cardinalidad $\leq \lambda$ tiene una extensión elemental saturada de cardinalidad $\lambda$ .
Lo contrario sería: si $|T|<\lambda$ tiene un modelo saturado de cardinalidad $\lambda$ entonces $\lambda=\lambda^{<\lambda}$ .
Aquí está mi intento de prueba: Dejemos que $N\models T$ tal que $N$ está saturado y $|N|=\lambda$ . Contamos los posibles tipos con parámetros en subconjuntos de $N$ de cardinalidad $<\lambda$ . Sea $A\subset N$ tal que $|A|=\mu<\lambda$ . Sea $S_1(A)$ sea el conjunto de los 1-tipos completos de $N$ con parámetros en $A$ Entonces $|S_1(A)|\leq 2^\mu=\mu^\mu<\lambda^\mu$ .
Además, $|[N]^{<\lambda}|=\lambda^{<\lambda}$ , donde $[N]^{<\lambda}$ es el conjunto de los subconjuntos de $N$ de tamaño máximo $\lambda$ . Sea $P=\bigcup\limits_{\mu<\lambda}\{S_1(A) \ : \ A\subset N, |A|=\mu\}$ Entonces $|P|=\lambda^{<\lambda}\cdot \underset{A\subset N\\|A|<\lambda}{\text{sup}}|S_1(A)|=\lambda^{<\lambda}$ , como $\underset{A\subset N\\|A|<\lambda}{\text{sup}}|S_1(A)|=\underset{\mu<\lambda}{\text{sup}}2^\mu<\underset{\mu<\lambda}{\text{sup}}\lambda^\mu=\lambda^{<\lambda}$ .
Desde $N$ debe tener un testigo por cada tipo 1 en $P$ entonces $\lambda=|N|\geq \lambda^{<\lambda}$ pero en general $\lambda^{<\lambda}\geq \lambda$ y tenemos la igualdad.
¿Esta prueba es correcta? ¿Puedes ver otras formas de demostrarlo?
Edición: como algunos habéis sugerido, en realidad la afirmación es la contraria:
Supongamos que $\lambda$ es tal que cada estructura $M$ de cardinalidad $\leq \lambda$ tiene una extensión elemental saturada de cardinalidad $\lambda$ . Entonces $\lambda=\lambda^{<\lambda}$ .
Por lo tanto mi intento de prueba es erróneo, y cierro la pregunta ya que la respuesta de @Primo Petri satisface completamente la petición.
