Estoy empezando a aprender cohomología para grupos cíclicos en preparación para su uso en las pruebas de la teoría de campo de clase global (utilizando argumentos teóricos ideales). He visto la prueba de la secuencia exacta larga y de las propiedades básicas del cociente de Herbrand, y he empezado a ver cómo se utilizan en las pruebas de la teoría de campos de clases.
Hasta ahora, todo lo que puedo decir es que los grupos de cohomología están dados por algún proceso de modificación ad hoc, luego derivamos algunas propiedades aleatorias (como la secuencia exacta larga), y luego calculamos cosas como $H^2(\mathrm{Gal}(L/K),I_{L})$ , donde $I_L$ denota el grupo de ideales fraccionarios de un campo numérico $L$ y resulta ser algo interesante para el estudio de la teoría del campo de clases como $I_K/\mathrm{N}(I_L)$ , donde $L/K$ es cíclico y $\mathrm{N}$ denota la norma ideal. A continuación, encontramos que los grupos de cohomología son útiles para racionalizar los cálculos con varios órdenes de índices de grupos.
Lo que no entiendo es cuál es la intuición detrás de las definiciones de estos grupos de cohomología. Sé lo que es la cohomología en un entorno geométrico (así que conozco ejemplos en los que tomar el núcleo módulo de la imagen es interesante), pero no sé por qué tomamos estos núcleos particulares módulo de estas imágenes particulares. ¿Cuál es la intuición de por qué se definen así? ¿Por qué deberíamos esperar que estos grupos de cohomología así definidos tengan buenas propiedades y nos ayuden con la teoría algebraica de números? Ahora mismo, sólo veo teorema tras teorema, veo la manipulación algebraica y la persecución de diagramas que lo demuestran, pero no veo una imagen más amplia.
Para contextualizar, si $A$ es un $G$ -módulo donde $G$ es cíclico y $\sigma$ es un generador de $G$ entonces definimos los endomorfismos $D=1+\sigma+\sigma^2+\cdots+\sigma^{|G|-1}$ y $N=1-\sigma$ de $A$ y luego $H^0(G,A)=\mathrm{ker}(N)/\mathrm{im}(D)$ y $H^1(G,A)=\mathrm{ker}(D)/\mathrm{im}(N)$ . Obsérvese que se trata de una ligera modificación de la cohomología de grupo, es decir, de la cohomología de Tate, que es la teoría de la cohomología que se utiliza principalmente para la teoría de campos de clases. La cohomología de grupo es la misma pero con $H^0(G,A) = \mathrm{ker}(N)$ . La ventaja de la cohomología de Tate es que es $2$ -periódico para $G$ cíclico.
