Intuición para la cohomología de grupos

Question

Estoy empezando a aprender cohomología para grupos cíclicos en preparación para su uso en las pruebas de la teoría de campo de clase global (utilizando argumentos teóricos ideales). He visto la prueba de la secuencia exacta larga y de las propiedades básicas del cociente de Herbrand, y he empezado a ver cómo se utilizan en las pruebas de la teoría de campos de clases.

Hasta ahora, todo lo que puedo decir es que los grupos de cohomología están dados por algún proceso de modificación ad hoc, luego derivamos algunas propiedades aleatorias (como la secuencia exacta larga), y luego calculamos cosas como $H^2(\mathrm{Gal}(L/K),I_{L})$ , donde $I_L$ denota el grupo de ideales fraccionarios de un campo numérico $L$ y resulta ser algo interesante para el estudio de la teoría del campo de clases como $I_K/\mathrm{N}(I_L)$ , donde $L/K$ es cíclico y $\mathrm{N}$ denota la norma ideal. A continuación, encontramos que los grupos de cohomología son útiles para racionalizar los cálculos con varios órdenes de índices de grupos.

Lo que no entiendo es cuál es la intuición detrás de las definiciones de estos grupos de cohomología. Sé lo que es la cohomología en un entorno geométrico (así que conozco ejemplos en los que tomar el núcleo módulo de la imagen es interesante), pero no sé por qué tomamos estos núcleos particulares módulo de estas imágenes particulares. ¿Cuál es la intuición de por qué se definen así? ¿Por qué deberíamos esperar que estos grupos de cohomología así definidos tengan buenas propiedades y nos ayuden con la teoría algebraica de números? Ahora mismo, sólo veo teorema tras teorema, veo la manipulación algebraica y la persecución de diagramas que lo demuestran, pero no veo una imagen más amplia.

Para contextualizar, si $A$ es un $G$ -módulo donde $G$ es cíclico y $\sigma$ es un generador de $G$ entonces definimos los endomorfismos $D=1+\sigma+\sigma^2+\cdots+\sigma^{|G|-1}$ y $N=1-\sigma$ de $A$ y luego $H^0(G,A)=\mathrm{ker}(N)/\mathrm{im}(D)$ y $H^1(G,A)=\mathrm{ker}(D)/\mathrm{im}(N)$ . Obsérvese que se trata de una ligera modificación de la cohomología de grupo, es decir, de la cohomología de Tate, que es la teoría de la cohomología que se utiliza principalmente para la teoría de campos de clases. La cohomología de grupo es la misma pero con $H^0(G,A) = \mathrm{ker}(N)$ . La ventaja de la cohomología de Tate es que es $2$ -periódico para $G$ cíclico.

Answer 1

He aquí un ejemplo completamente elemental que muestra que la cohomología de grupo no es verborrea vacía, sino que puede resolver un problema ("parametrización del círculo racional") cuyo enunciado no tiene nada que ver con la cohomología.

Supongamos que de alguna manera se sabe que para una extensión de Galois finita $k\subset K$ con el grupo $G$ el primer grupo de cohomología $H^1(G,K^*)$ es cero : esta es la versión homológica del Teorema 90 de Hilbert ( puedes buscarlo en el libro de Weibel sobre álgebra homológica, páginas 175-176).

Si además $G $ es cíclico con generador $s$ esto implica que un elemento de $K$ tiene norma uno si y sólo si se puede escribir $\frac{a}{s(a)}$ para algunos $a\in K$ .

Consideremos ahora la extensión cuadrática $k=\mathbb Q \subset K=\mathbb Q(i)$ con generador $s$ de $Gal(\mathbb Q (i)/\mathbb Q)$ la conjugación compleja.La afirmación anterior dice que $x+iy\in \mathbb Q(i)$ satisface $x^2+y^2=1$ si $x+iy=\frac{u+iv}{s(u+iv)}=\frac{u+iv}{u-iv}=\frac{u^2-v^2}{u^2+v^2}+i\frac{2uv}{u^2+v^2}$ para algunos $u+iv\in \mathbb Q (i)$ .

Así que hemos obtenido de la cohomología de grupo la conocida parametrización para los puntos racionales del círculo unitario $x^2+y^2=1$ $$x=\frac{u^2-v^2}{u^2+v^2}, \quad y=\frac{2uv}{u^2+v^2}$$ .

Answer 2

Secundo algunas observaciones ya hechas: a pesar de la tradición (anticuada) de los planes de estudio de matemáticas estándar de ignorar estas cosas, es muy útil entender que la (co)homología de grupo consiste en los "funtores derivados" de los funtores que toman vectores G-[co]fijos en espacios de representaciones. (Desgraciadamente, los dos "co" se invierten.) Así, hay una definición intrínseca. Estos funtores derivados superiores son lo universal/lo correcto para "corregir" la no exactitud de los funtores de (co)vectores fijos. Es cierto que esta definición no explica por qué nos importaría tanto, pero, al fin y al cabo, es una gran parte de lo que la (co)homología es Creo que

También es muy útil saber/probar que cualquier La resolución pro/inicial puede utilizarse para calcular la (co)homología.

Por lo tanto, las elecciones particulares (resolución(es) de barra homogénea/inhomogénea, etc.) no son la definición, a pesar de las afirmaciones comunes de que esto es así.

El objetivo de la elección inteligente/inteligente de las resoluciones es facilitar los cálculos sobre situaciones específicas.

C. El libro de Weibel sobre álgebra homológica hace algunos buenos cálculos de muestra en homología de grupo (co), en el contexto de que es un ejemplo .

Answer 3

Siento que mi respuesta a cada pregunta de este tipo es "el tratamiento en el libro de Silverman sobre las curvas elípticas es realmente bueno", ¡pero el tratamiento en el libro de Silverman sobre las curvas elípticas es realmente bueno!

En particular, para H^1 al menos, siempre me parece bastante agradable pensar en términos de giros. En general: si X es una variedad sobre un campo K, y L/K es una extensión de Galois, decimos que X'/K es un Torsión en L de X si existe un isomorfismo entre X y X' sobre L. (Si sólo queremos decir que X' es un L-twist para algún L, lo llamamos simplemente twist de X.)

De todos modos, es un bonito ejercicio comprobar que las torsiones L de X dan clases en H^1(Gal(L/K),Aut(X/L)). (Y en circunstancias favorables, las L-twists están realmente en biyección con el conjunto de cohomología de Galois). Esta es la base de toda la historia de los espacios homogéneos principales, o torsores, que constituye gran parte del último capítulo de Silverman.

Answer 4

No estoy seguro de si esto es lo que buscas, pero siempre pienso en la (co)homología de grupo en términos de la homología del espacio de clasificación de tu grupo. Suponiendo que $G$ es discreto, entonces existe un espacio topológico $BG$ con la propiedad de que $\pi_1 BG=G$ y los grupos homotópicos superiores desaparecen. Por construcción, $BG$ tiene una cobertura contratable $EG$ para que $EG/G=BG$ .

$H_n(BG)$ es la misma que la definida algebraicamente $H_n(G)$ ya que, si tomamos el complejo de cadenas celulares de $EG$ terminamos con una resolución de los enteros por $G$ -debido a la acción de $G$ en $EG$ pasa a los grupos de cadenas. A continuación, el tensado por el anillo del grupo integral de $G$ sólo divide el $G$ acción y obtenemos el complejo de cadenas celulares de $BG$ .

Answer 5

En primer lugar, permítanme decir que más allá de saber que la cohomología de grupo proviene de funtores derivados y todas las propiedades que vienen con ella, no tengo mucha intuición para la cohomología de grupo general. Sin embargo, en la teoría de números hay una serie de lugares en los que se puede realizar la cohomología de grupos como parametrización de algunos otros objetos que te interesan. Para entender estos otros objetos (de los que es posible tener una intuición muy real) basta con utilizar la maquinaria de la cohomología de grupos. A continuación se presentan algunos ejemplos. Me olvido de poner subíndices continuos en todo, así que cuidado. Los errores son míos.

En primer lugar, en el ámbito de la teoría de campos de clase (edit:local) tenemos el grupo de Brauer $Br(K)$ que es el grupo abeliano (bajo la operación tensorial) de las álgebras centrales simples sobre $K$ hasta la equivalencia $A \sim M_n(A)$ . Resulta que existe un isomorfismo natural entre $Br(K)$ y $H^2(G_K, \overline{K}^{\times})$ . Este isomorfismo proporciona dos mundos en los que realizar cálculos importantes. Por ejemplo, la afirmación de que toda álgebra simple central sobre $K$ se divide en una extensión no ramificada de $K$ puede demostrarse explícitamente utilizando el grupo de Brauer o puede demostrarse comprobando que $H^2(G(K^{nr}/K),\overline{K}^\times) = H^2(G_K,\overline{K}^\times)$ . A partir de cualquiera de las dos pruebas se puede obtener una prueba de la otra. Tal vez, también en el ámbito de la teoría de campos de clases, el mapa local de Artin surja como un mapa sobre grupos de Tate dado por un cierto producto de copa, pero eso llevaría un poco más de tiempo explicarlo. Deberías mirar las notas de Milne sobre CFT para todo esto (Ch III y Ch IV para lo que he dicho).

Aquí hay otra. Supongamos que $B$ es un anillo topológico y $G$ es un grupo topológico y $G$ actúa continuamente sobre $B$ . Entonces, consideramos libre finito $B$ -módulos $X$ dotado de una acción semilineal, es decir $g(bx) = g(b)g(x)$ para todos $b \in B$ y $x \in X$ . Resulta que todos estos objetos están parametrizados por $H^1(G,GL_d(B))$ . (Advertencia: se trata de cohomología no abeliana, por lo que sólo se trata de un conjunto puntiforme. El punto corresponde a la representación semilineal trivial $B^d$ con la acción diagonal). Esto aparece muy pronto en la parte de $p$ -representaciones de Galois adicas donde se estudian los anillos de periodo $B_{dR}, B_{HT}$ etc.

Por último, consideremos la situación en la que se tiene una representación $\overline{\rho}:G_{\mathbb Q,S} \rightarrow GL_n(\mathbb F_p)$ y uno quiere saber si tiene encendidos $\rho: G_{\mathbb Q,S} \rightarrow GL_n(R)$ donde $R$ es algún DVR completo con campo de residuos $\mathbb F_p$ . Si ya tenemos una elevación a $GL_n(R')$ y $R$ y $R'$ son bastante agradables (hay una suryección $R \rightarrow R'$ cuyo núcleo $I$ es matado por el ideal máximo en $R$ ), entonces la obstrucción para elevar aún más radica en el grupo de cohomología $H^2(G_{\mathbb Q,S},I\otimes Ad(\overline{\rho}))$ donde $Ad(\overline{\rho})$ es el espacio vectorial $M_n(\mathbb F_p)$ junto con la acción conjugada de $\overline{\rho}$ . Esto (he especializado algunas cosas) está escrito en el artículo de Mazur "Deforming Galois Representations".

Para terminar, sólo diré lo que me dijo mi asesor cuando le hice una pregunta similar a la que tú planteas: "Espera y verás cómo se aclara tu pensamiento con la cohomología de grupos".