Valores propios de una matriz tridiagonal con estructura especial

Question

Tengo una matriz tri-diagonal con una estructura específica definida por los parámetros $T(a,b,\alpha)$ . ¿Cómo puedo calcular los valores y vectores propios? Estoy familiarizado con los resultados teóricos cuando $\alpha = 0$ pero desgraciadamente no es el caso.

$$T(a,b,\alpha) = \begin{pmatrix} a+\alpha & b & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ b & a & b & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & b & a & b & 0 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & b & a + \alpha \\ \end{pmatrix} $$

Es decir, el $a + \alpha$ es sólo en las posiciones $T_{11}$ y $T_{nn}$ .

Answer 1

Tomaré $n = 4, a = 0 \mbox{ and } b = 1 $ y el caso del general incluso $n, a \mbox{ and } b$ debería ser similar. Veamos el $4 \times 4$ matriz $$A = \pmatrix{\alpha&1&0&0\\1&0&1&0\\0&1&0&1\\0&0&0&\alpha},\ B_+ = \pmatrix{\alpha&1\\1&1}\, B_- = \pmatrix{\alpha&1\\1&-1}.$$

Supongamos que $\lambda, \pmatrix{x_1\\x_2}$ es el par valor propio/vector de $B_+,$ entonces se puede verificar que $\lambda, \pmatrix{x_1\\x_2\\x_2\\x_1}$ es un valor/vector propio de $A.$ de manera similar si $\lambda, \pmatrix{x_1\\x_2}$ es el par valor propio/vector de $B_-,$ Puedes comprobar que $\lambda, \pmatrix{x_1\\x_2\\-x_2\\x_1}$ es un valor/vector propio de $A.$

dejar $\sigma(A),$ espectro de $A$ es el conjunto de todos los valores propios de $A.$ puede demostrar que $\sigma(B_-) = -\sigma(B_+), \sigma(A) = \sigma(B_+) \, \cup \sigma(B_-)$ y que $\sigma(B+) = \frac{\alpha+1 \pm \sqrt{(\alpha - 1)^2 + 4}}2.$