Densidad "fuerte" de los operadores diferenciales en los operadores lineales

Question

Dejemos que $A$ sea un conjunto conmutativo, regular y finitamente generado $k$ -álgebra, donde $k$ es un campo de característica 0.

Entonces Grothendieck demostró que en este caso el álgebra de operadores diferenciales sobre $A$ es simplemente la subálgebra de $End_k(A)$ generado por la multiplicación por $A$ y $Der_k(A)$ , $k$ -derivaciones lineales. Denotemos esta álgebra por $D(A)$ .

He leído que $D(A)\subseteq End_k(A)$ es "fuertemente denso", es decir, dado cualquier subespacio de dimensión finita $M\subseteq A$ y cualquier operador lineal $L\in End_k(A)$ existe un operador diferencial $D\in D(A)$ tal que $L|_M=D|_M$ . ¿Alguien conoce la prueba de este hecho?

Mi proceso de pensamiento ha sido intentar trabajar primero a nivel local: sabemos que $Spec(A)$ tiene una cobertura por afines $Spec(A_f)$ tal que $D(A_f)\cong A_f[\frac{\partial}{\partial x_1},\dots,\frac{\partial}{\partial x_n}]$ , donde $x_1,\dots,x_n\in A_f$ son un sistema de parámetros en todos los puntos cerrados de $Spec(A_f)$ . Aquí las derivaciones $\frac{\partial}{\partial x_i}$ sólo están obligados a satisfacer $x_j\mapsto \delta_{ij}$ (si entiendo bien las cosas). Así que es fácil encontrar un operador diferencial que haga lo que quieras a un subespacio generado por monomios en el $x_i$ Pero no veo qué hacer con otros elementos.

Answer 1

Creo que puede ser más fácil si no se elige la tapa abierta de antemano, para que la tapa pueda depender de $M$ . De forma equivalente, trabajemos primero con anillos locales.

He aquí un esbozo del argumento. Mantengo su notación: $A$ es suave sobre un campo característico cero $k$ , $D(A)$ es el álgebra de los operadores diferenciales, y $M\subset A$ es un subespacio de dimensión finita. Consideremos el mapa de evaluación $$ev:D(A)\to Hom_k(M,A).$$ Queremos demostrar que $ev$ es suryente.

Tenga en cuenta que $ev$ es un morfismo de $A$ -por lo que basta con comprobar su subjetividad localmente. (Explícitamente, este paso implica mirar las particiones de la unidad). Es decir, para cada punto $x\in Spec(A)$ consideramos el anillo local $A_x$ y necesitamos demostrar la subjetividad del mapa $$ev_{A_x}:D(A_x)=A_x\otimes_A D(A)\to Hom_k(M,A_x).$$ Además, $Hom_k(M,A)$ es una entidad finitamente generada $A$ -(de hecho, es libre de rango finito), por lo que basta con considerar puntos cerrados $x\in Spec(A)$ .

Dejemos ahora $x\in Spec(A)$ sea un punto cerrado, y queremos demostrar la subjetividad de $ev_{A_x}$ . Por el lema de Nakayama, basta con comprobar que la composición $$D(A_x)\to Hom_k(M,A_x)\to Hom_k(M,k_x)$$ es suryente, aquí $k_x$ es el campo de residuos de $x$ . Sin embargo, para esta afirmación se puede sustituir $A_x$ por su terminación, lo que la convierte en una afirmación sobre la serie de Taylor.

P.D. Puede ser psicológicamente más fácil extender los escalares de $k$ a su cierre algebraico al principio... Pero si se resiste la tentación, se llega a pensar en cosas como $k$ -operadores diferenciales lineales en el anillo de series de Taylor con coeficientes en una extensión finita $k_x\supset k$ ...