¿Qué significa ser $0.9-$ ¿Dimensión?

Question

Podemos visualizar $1\mathrm D$ , $2\mathrm D$ , $3\mathrm D$ y podemos pensar en un $M-\mathrm {Dimension}$ donde $M\in \mathbb N^+$ como vector. Pero hace poco aprendí que hay dimensiones no enteras como $\frac{\log3}{\log2}$ para Triángulo de Sierpinski y $\frac{\log2}{\log3}$ para Conjunto de Cantor .

Tengo una pregunta en tres partes:

(a) ¿Qué significa?

(b) ¿Tenemos un vector u otra forma de representarlo?

(c) ¿Existen también dimensiones negativas?

Muchas gracias.

Answer 1

Cita del libro de Abbot "Understanding Analysis":

Existe un acuerdo razonable en que un punto tiene dimensión cero, un segmento de recta tiene dimensión uno, un cuadrado tiene dimensión dos y un cubo tiene dimensión tres. Sin intentar una definición formal de dimensión (existen varias), podemos hacernos una idea de cómo podría definirse observando cómo afecta la dimensión al resultado de ampliar cada conjunto particular en un factor de 3 (Fig. 3.2). (La razón de la elección de 3 quedará clara cuando volvamos a centrarnos en el conjunto de Cantor). Un punto no sufre ningún cambio, mientras que un segmento de línea triplica su longitud. En el caso del cuadrado, al aumentar cada longitud en un factor de 3 se obtiene un cuadrado mayor que contiene 9 copias del cuadrado original. Por último, el cubo aumentado da como resultado un cubo que contieneb 27 copias del cubo original dentro de su volumen. Observa que, en cada caso, para calcular el "tamaño" del nuevo conjunto, la dimensión aparece como el exponente del factor de ampliación.

Ahora, apliquemos esta transformación al conjunto de Cantor. El conjunto $C_0 =[0, 1]$ se convierte en el intervalo $[0, 3]$ . La supresión del tercio central deja $[0, 1] [2, 3]$ que es donde empezamos en la construcción original, excepto que ahora tenemos que producir una copia adicional de $C$ en el intervalo $[2, 3]$ . Ampliando el conjunto de Cantor por un factor de $3$ produce dos copias del conjunto original. Así, si $x$ es la dimensión de $C$ entonces $x$ debe satisfacer $2 = 3^x$ o $x =\dfrac{\log 2}{ \log 3}$ .

El triángulo de Sierpinski sufre un cambio similar, pero se obtiene $3=2^x$ ya que si duplicas las bases de tu triángulo, obtienes tres copias.

Answer 2

Existen muchas generalizaciones de la noción habitual de dimensión, y están ahí para captar distintas propiedades. Dicho esto, la intuición detrás de la dimensión es que describe el número de grados de libertad que tiene, por ejemplo

• Un punto de una recta tiene un grado de libertad.
• Un punto en un plano tiene dos grados de libertad.
• Un punto de un colector bidimensional (p. ej., una esfera) tiene dos grados de libertad (p. ej., latitud y longitud), aunque el propio colector se defina como un subconjunto de un espacio de mayor dimensión (p. ej., una esfera). $\mathbb{R}^3$ ).
• Un espacio de dimensiones infinitas tiene infinitos grados de libertad (p. ej. el $L_2$ espacio ).

Sin embargo, el espacio definido puede ser más complejo que eso, por ejemplo, en algunas zonas puede tener un grado de libertad y en otras más, por ejemplo, tomemos la unión de un disco y una recta. Aún así, las cosas pueden ponerse aún más raras, por ejemplo, tomemos el Curva de Hilbert ¿es todavía una línea o ya un plano? De este modo, se puede pensar en el triángulo de Sierpinski como algo que se parece un poco a un triángulo, pero todavía no exactamente.

Para ver cómo funciona, consideremos el conjunto de Cantor y el siguiente argumento informal. Obsérvese que para describir un punto de $[0,1]$ con precisión de $\frac{1}{3^n}$ necesitas $3^n$ posibilidades, y por tanto en la base $3$ como mínimo $n$ dígitos. Sin embargo, para describir los elementos de conjunto de Cantor sólo se necesitan $2^n$ posibilidades (el conjunto de Cantor es el conjunto de todos los puntos que no utilizan el número $1$ en su representación base-3). Pero para describir $2^n$ posibilidades sólo necesita $\log_3(2^n) = n\frac{\log 2}{\log 3}$ dígitos. Pero necesitábamos $n$ dígitos para representar un punto en $[0,1]$ que es de dimensión $1$ y así llegamos a $\frac{\log 2}{\log 3}$ .

En el caso de Dimensión de Hausdorff hay otra observación relacionada con el escalado, pero esto ya está cubierto por la respuesta de @PedroTamaroff y este artículo de Wikipedia.

En cuanto a la dimensión negativa, no sé muy bien qué puede significar "número negativo de grados de libertad". Ahora mismo no conozco ninguna noción útil al respecto. Por otra parte, quizá le interese saber que la dimensión no es la única característica aparentemente integral. diferenciales de orden fraccionario y estos ciertamente pueden ser negativos (entonces obtienes integrales). En un espíritu similar un espacio de dimensión negativa tendría que "quitar los grados de libertad" cuando se une con algún otro espacio, por ejemplo tenemos que $\dim(\mathbb{R} \times \mathbb{R}) = 2\dim(\mathbb{R})$ así que posiblemente $\dim(\mathbb{R} \times X) = 0$ ? Esto podría ocurrir, por ejemplo, en un caso en el que se requiere que los puntos de su espacio tienen alguna propiedad, y luego todos los puntos de $\mathbb{R}$ tendría esa propiedad, pero sólo un subconjunto contable de $\mathbb{R} \times X$ te funcionaría. Aún así, necesitamos una nueva noción de dimensión para eso (una que incorpore su propiedad).

Espero que esto ayude $\ddot\smile$

Answer 3

Otra forma de explicarlo basada en una comprensión física:

Consideremos nuestro espacio tridimensional observable y dupliquemos todas las longitudes.

• un objeto 1D tendrá su masa multiplicada por $2^1=2$ .
• un objeto 2D tendrá su masa multiplicada por $2^2=4$
• un objeto 3D tendrá su masa multiplicada por $2^3=8$
• un objeto de dimensión $h$ tendrá su masa multiplicada por $2^h$

Así que, básicamente, la dimensión de un objeto puede verse como la forma en que la masa escala con las longitudes.