Oscilación de $f$ (en $x_0$ ) es igual a cero si $f$ es continua.

Question

Estoy leyendo una prueba de esa afirmación mencionada en el título y tengo algunas dificultades para entenderla.

Declaración:

$$O_f(x_0)=0 \iff f \ \ \text{is continuous on} \ \ x_0 $$

(Donde la oscilación, $O_f(x):= \displaystyle\lim_{n\to\infty}\text{diam}f(D(x,\frac{1}{n}) $ y donde $D(x,\frac{1}{n})$ es una bola abierta con centro $x$ y el radio $\frac{1}{n}$ )

Prueba:

Supongamos que $O_f(x_o)=0$ .

Dejemos que $V$ sea alguna vecindad de $f(x_0)$ . Existe $\epsilon>0$ que para él $D(f(x_0,\epsilon))\subseteq V$ . Desde $O_f(x_o)=0$ sabemos que hay $k\in\mathbb{N}$ que a partir de ese $k$ y en, $\text{diam}f(D(x,\frac{1}{n}))<\epsilon$ elegimos $n>k$ . Para todos los $x\in D(x_0,\frac{1}{n})$ que tenemos: $$d(f(x),f(x_0))\leq \text{diam}f(D(x,\frac{1}{n})<\epsilon$$ y por lo tanto( que no puedo entender ): $$f(D(x_0,\frac{1}{n}))\subseteq D(f(x_0),\epsilon)$$

Esta última afirmación completa la prueba (de la primera dirección)

Así que, de nuevo ¿cómo desde $d(f(x),f(x_0))\leq \text{diam}f(D(x,\frac{1}{n})<\epsilon$ implica que $f(D(x_0,\frac{1}{n}))\subseteq D(f(x_0),\epsilon)$ ?

Gracias.

Answer 1

El diámetro de un conjunto en un espacio métrico es la suma de las distancias entre todos sus puntos, por lo que en su definición de oscilación tenemos esto: $$\mathcal O_f(x_0)=\lim_{n\to\infty}\sup_{x,y\in D\left(x_0,1/n\right)}d\left(f(x),f(y)\right)$$ y como la siguiente desigualdad es verdadera $$d\left(f(x),f(x_0)\right)\leq \textrm{diam} f\left(D\left(x_0,\frac{1}{n}\right)\right)$$ también es válida para el supremum, del que se desprende la inclusión por la que preguntas.

Añadido para responder a la duda del OP más abajo:

Porque tomamos cualquier $\,x\in D(x_0,1/n)\,$ y tenemos $$d(f(x),f(x_0))\leq \text{diam} f(D(x_0,1/n))<\epsilon\Longrightarrow$$ y esto significa $\,f\,$ asigna cualquier elemento de $D(x_0,1/n)\,$ , a saber $\,x\,$ al elemento $\,f(x)\,$ que está a una distancia de $\,\epsilon\,$ de $\,f(x_0)\,$ , es decir, a la bola abierta $\,D(f(x_0),\epsilon)\,$ ¡...!

En otras palabras, todos los elementos de $\,D(x_0,1/n)\,$ son mapeados por $\,f\,$ a elementos dentro de una distancia de $\,\epsilon\,$ de $\,f(x_0)\,$ , es decir, están mapeados en la pelota $\,D(f(x_0),\epsilon)\,$