¿Obtener el potencial eléctrico a partir de la densidad de carga en todo el espacio?

Question

Digamos que tengo una densidad de carga $\rho (x,y,z)=\cfrac{C}{x^2}$ con C una constante específica. Quiero conocer el potencial en cada punto del espacio. ¿Cómo puedo obtener una expresión del potencial eléctrico en términos de posición?

Trazando la densidad de carga obtenemos, por supuesto, una cantidad infinita de planos con la misma densidad de carga cada uno, a lo largo del eje x. Con esta imagen en mente, podríamos suponer que sólo hay componentes x de los campos eléctricos perpendiculares a los planos, debido a la simetría.

Creo que esto podría ser un punto clave (si estuviera en lo cierto) para calcular el potencial (o campo eléctrico) pero no se me ocurre una expresión concreta para ello ya que tendría que considerar todos los planos con densidad de carga específica. Ni la ley de Gauss, ni la ley de Coulomb ni ninguna otra definición de potencial/campo eléctrico parecen ser aplicables.

¿Existe una forma sencilla de calcular dicho potencial? (En realidad no parece ser tan difícil)

Answer 1

El cálculo de los potenciales a partir de una densidad de carga dada puede realizarse mediante \begin{align} \phi(\vec{r})= \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int_\mathbb{R} d^3 r' \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|} \, . \end{align} Esto se deduce de una versión general de la ley de Coulomb \begin{align} \vec{E}(\vec{r})= \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int_\mathbb{R} d^3\vec{r}' \rho(\vec{r}')\frac{\vec{r}-\vec{r}'}{|\vec{r}-\vec{r}'|^3} \end{align} y la definición del potencial \begin{align} \vec{E}(\vec{r})=-\vec{\nabla}\phi(\vec{r}) \, . \end{align}

Asegúrese de que, mientras se integra sobre $\mathbb{R}$ en cada dirección espacial de esta integral de volumen, no olvides poner la función delta de Dirac correcta en tu densidad de carga (de lo contrario su dimensión no es correcta) \begin{align} \rho(\vec{r})=\frac{C}{x^2} \delta(y) \delta(z) \, . \end{align} Como \begin{align} |\vec{r}-\vec{r}'| = \sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2} \end{align} y la propiedad de las funciones delta de Dirac \begin{align} \int_\mathbb{R} du f(u) \delta(u-u_0) = f(u_0) \end{align} mantener, podemos introducir todo y el problema se reduce a resolver \begin{align} \phi(\vec{r})= \frac{C}{4\pi \epsilon_0} \int_{-\infty}^\infty dx' \frac{1}{x'^2 \sqrt{(x-x')^2+y^2+z^2}} \, . \end{align} El resto es sólo matemáticas y tal vez conocer el ocasional $|\vec{r}|=r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ .

Espero que esto haya ayudado.