Grupo bajo Aditivo módulo 6

Question

¿Es el conjunto $\{0,1,2,3,4,5,6\}$ un grupo bajo la adición módulo $6$?

Mi intento:

El inverso de este grupo sería 0. La entrada de la tabla de Cayley para 6 contendría 0 en dos ubicaciones $6+_{6}0=0$ y $6+_{6}6=0$, ¡pero en un grupo las entradas de la tabla de Cayley son únicas!. Así que este conjunto no es un grupo.

¡Por favor házmelo saber si estoy en lo correcto?

Answer 1

Cuando trabajas en módulo $6$, nota que $0\equiv 6\bmod 6$; por lo que en realidad tu conjunto en cuestión es $\{0,1,2,3,4,5\}$.

También ten en cuenta que el inverso del grupo no es $0$ - en realidad es el elemento identidad. Para distinguir la diferencia entre los dos, recuerda las definiciones

• El elemento identidad de un grupo $G$, $e$ digamos, es un elemento tal que $a\circ e=e\circ a=a$.
• El inverso de un elemento $a$ en un grupo $G$ es un elemento $b$ tal que $a\circ b=b\circ a=e$ donde $e$ es el elemento identidad.

Con esta información en mente - ahora si revisas los axiomas de grupo, encontrarás que esto es de hecho un grupo.

Answer 2

De hecho, es un grupo. La asociatividad se puede demostrar fácilmente. El elemento neutro es 0 y cada elemento tiene un elemento inverso, que se puede ver en la tabla (http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680/Parsons/MVP6690/Essay1/Images/image31.gif). Si deseas comprobar si es un grupo, necesitas revisar cada entrada una vez por fila/columna en la tabla (y necesitas demostrar la asociatividad que no se puede ver en la tabla). Por ejemplo, la multiplicación módulo 6 no es un grupo, lo cual puedes ver aquí (http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680/Parsons/MVP6690/Essay1/Images/image30.gif). Tu grupo también es un grupo abeliano, puedes ver la conmutatividad en la tabla porque es simétrica.