Módulos libres de rango n

Question

Me estoy preparando para los exámenes preliminares y me he dado cuenta de que tengo una laguna fundamental en la comprensión de los módulos libres. Estoy tratando de responder a la siguiente pregunta:

Dejemos que $M = \mathbb{Z}^n$ y denotar por $pM = p\mathbb{Z}^n$ . Supongamos que $L$ es un submódulo de $M$ avec $pM L M.$
(a) Demuestre que $L$ es un programa gratuito $\mathbb{Z}$ -de rango $n$ .
(b) Demuestre que el índice $[M : L]$ es finito, y en términos del índice describe los factores invariantes factores (o divisores elementales) de L en M como un $\mathbb{Z}$ -módulo.

Me he dado cuenta de que no entiendo qué es un módulo libre de rango n que no es igual a $\mathbb{Z}^n$ parece.

Sé que si $N$ es un submódulo de un $\mathbb{Z}^n$ entonces $N\cong \mathbb{Z}^m$ para algunos $m\le n$ (este es un teorema de nuestra clase).

Pero si $L$ es un programa gratuito $\mathbb{Z}$ módulo de rango $n$ Entonces, aplicando este teorema, ¿no sería $L=M$ en el problema? ¿Qué son las $\mathbb{Z}$ módulos de rango $n$ que no son $\mathbb{Z}^n$ ?

Answer 1

Dos grupos abelianos libres cualesquiera $A$ y $B$ de rango $n$ con $A$ un subgrupo de $B$ son isomorfos como grupos abelianos: ambos son isomorfos a $\mathbb{Z}^n$ . Pero todavía puede tener $A \subsetneq B$ En otras palabras, $A$ y $B$ pueden ser abstractamente isomorfas (es decir, hay algunos que es un isomorfismo de grupo), pero el homomorfismo de inclusión de $A$ en $B$ no tiene que ser un isomorfismo.

Por ejemplo, $A = 2\mathbb{Z} \times 3\mathbb{Z}$ está correctamente contenida en $B = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ y $A$ es libre de rango dos: $(2,0)$ y $(0,3)$ forman una base para $A$ . Esto ya no es una base para $B$ .