Desigualdad $\left(\sum_{i=1}^{3n}x_i\right)^3\geq 27n^2\left(\sum_{i=1}^nx_ix_{n+i}x_{2n+i}\right)$

Question

Supongamos que $0\leq x_1\leq x_2\leq\ldots\leq x_{3n}$ son números reales. Debemos demostrar que $$\left(\sum_{i=1}^{3n}x_i\right)^3\geq 27n^2\left(\sum_{i=1}^nx_ix_{n+i}x_{2n+i}\right).$$

Tome $n=1$ Esto es $(x_1+x_2+x_3)^3\geq 27x_1x_2x_3$ que se deduce de la desigualdad AM-GM. Tomemos $n=2$ Esto es $(x_1+\ldots+x_6)^3\geq 108(x_1x_3x_5+x_2x_4x_6)$ . Tal vez la suposición $x_1\leq\ldots\leq x_6$ ¿es importante aquí?

Answer 1

Como la desigualdad es homogénea, podemos WLOG establecer $\displaystyle \sum_{k=1}^{3n} x_k = 3n$ . Con esta condición, la desigualdad se puede escribir como $$n -\sum_{k=1}^n x_k x_{k+1}x_{2k+1} \ge 0$$

Ahora, el LHS puede considerarse una función lineal de cada $x_i$ con un coeficiente no positivo. Por lo tanto, el LHS se puede minimizar estableciendo cada $x_i \in [x_{i-1}, x_{i+1}]$ al máximo valor posible permitido, es decir $x_i = x_{i+1}$ . Por lo tanto, el LHS se minimiza cuando tenemos $x_i = x_{3n}$ para cada $i$ Así que $\displaystyle \sum_{k=1}^{3n} x_k =3n \implies \forall i, \;x_i=1$ y el mínimo del LHS es $\displaystyle n-\sum_{k=1}^n 1\cdot1\cdot1= n-n=0$ . Por lo tanto, la desigualdad se cumple.