¿tercer grupo de homotopía estable de esferas a través de la geometría?

Question

Es ''bien conocido'' que el tercer grupo de homotopía estable de las esferas es cíclico de orden $24$ . También es ''conocido'' que el mapa cuaterniónico de Hopf $\nu:S^7 \to S^4$ , un $S^3$ -bundle, suspende a un generador de $\pi_8 (S^5)=\pi_{3}^{st}$ . Es aún más conocido que el mapa complejo de Hopf $\eta:S^3 \to S^2$ suspende a un generador de $\pi_4 (S^3) = \pi_{1}^{st} = Z/2$ . Para ello, existe un argumento razonablemente elemental, véase, por ejemplo, Bredon, Topología y Geometría, página 465 y siguientes:

1. Por la larga secuencia exacta, $\pi_3 (S^2)=Z$ generado por $\eta$ .
2. Por Freudenthal, $\pi_3 (S^2) \to \pi_4 (S^3) = \pi_{1}^{st}$ es suryente.
3. Porque $Sq^2: H^2(CP^2;F_2) \to H^4(CP^2;F_2)$ es distinto de cero, el orden de $\eta$ en $\pi_{1}^{st}$ es al menos $2$ (la relación entre estas cosas es que $\eta$ es el mapa de fijación del $4$ -célula de $CP^2$ ).
4. Por una construcción directa, $2\eta$ es establemente nulo-homotópico. Esencialmente, $\eta g = r \eta$ , donde $r,g$ son las conjugaciones complejas en $S^2=CP^1$ y $S^3 \subset C^2$ . $g$ es homotópica a la identidad, $\eta=r\eta$ . El grado de $r$ es $-1$ por lo que después de la suspensión (pero no antes), la composición con $r$ se convierte en tomar la inversa aditiva. Por lo tanto, $\eta=-\eta$ en el tallo estable.

Mi pregunta es si se pueden imitar partes sustanciales de este argumento para $\nu$ . Esto es lo que ya sé y lo que no:

1. Existe una breve secuencia exacta $0 \to Z \to \pi_7 (S^4) \to \pi_6 (S^3) \to 0$ que puede ser dividido por el invariante de Hopf. Así, $\nu$ genera un sumando libre.
2. es el mismo argumento que para $\eta$ .
3. utilizando el mod de operaciones Steenrod $2$ y mod $3$ en $HP^2$ , puedo ver que el orden de $\nu$ en $\pi_{3}^{st}$ es al menos $6$ .
4. esto es un completo misterio para mí y ciertamente para otros-:)). ¿Cómo puedo llevar $24$ en la geometría de la vía? ¿Cómo relaciono los cuaterniones y $24$ ? Lo que se ve inmediatamente es que hay que tener cuidado cuando se habla de conjugaciones en el entorno cuaterniónico, para evitar probar el falso resultado '' $2 \nu=0 \in \pi_{3}^{st}$ ''.

Sé que este resultado se remonta a Serre, pero no encuentro un cálculo detallado en sus documentos y parece que el cálculo utilizando la torre de Postnikov y la secuencia espectral de Serre es un poco largo. Hay otros tres enfoques que conozco, pero son mucho menos elementales: La secuencia espectral de Adams, el J-homorfismo (basta con demostrar que el orden de $\nu$ es $24$ ), bordismo enmarcado (apoyado por cosas como el teorema de Rochlin y la fórmula de firma de Hirzebruch).

¿Alguna idea? P.D.: si hay un argumento similar para la fibración de Hopf octoniónica $S^{15} \to S^8$ (el orden estable es 240), sería realmente genial.

Answer 1

Ampliando la respuesta de André Henriques, $\pi_3^s(P^\infty) \cong {\mathbb Z}/8$ . El grupo de homotopía es isomorfo al grupo de cobordismo de las superficies no orientables en el espacio 3. Superficie del niño es un generador. Ver también La película de Tony Phillips.

La eversión de Froisart-Morin de un $2$ -La esfera se puede tapar en cualquiera de sus extremos para obtener una $3$ -esfera en $4$ -Espacio. Tiene un punto cuádruple, una curva cerrada de puntos triples, y su conjunto de puntos dobles es una superficie no orientable (suma conectada de 3 planos proyectivos. Combinando resultados de Koschorke de alrededor de 1979-1982, se puede ver que los invariantes de puntos múltiples (mapas de Kahn-Priddy) dan que esta esfera es un generador del ${\mathbb Z}/(24)$ . Además, la construcción de la figura 8 de Koschorke aplicada a la superficie de Boy coincide con un mapa en homotopía estable que mapea la ${\mathbb Z}/(8)$ inyectada a la ${\mathbb Z}/(24)$ .

Una visión alternativa del generador de $\pi^s_2$ es tomar una proyección genérica inmersa del toro estándar (tropical) desde $4$ -espacio en $3$ -espacio. He jugado con esto en mathematica, las proyecciones lineales dan superficies con 4 puntos de ramificación, por lo que el toro tiene que ser perturbado en $4$ -espacio antes de proyectar. Si se toma una figura 8, se multiplica por un intervalo y se le da un giro completo, se obtiene el generador mod-2. El truco del cinturón deshace dos giros completos.