¿tercer grupo de homotopía estable de esferas a través de la geometría?

Question

Es ''bien conocido'' que el tercer grupo de homotopía estable de las esferas es cíclico de orden $24$ . También es ''conocido'' que el mapa cuaterniónico de Hopf $\nu:S^7 \to S^4$ , un $S^3$ -bundle, suspende a un generador de $\pi_8 (S^5)=\pi_{3}^{st}$ . Es aún más conocido que el mapa complejo de Hopf $\eta:S^3 \to S^2$ suspende a un generador de $\pi_4 (S^3) = \pi_{1}^{st} = Z/2$ . Para ello, existe un argumento razonablemente elemental, véase, por ejemplo, Bredon, Topología y Geometría, página 465 y siguientes:

1. Por la larga secuencia exacta, $\pi_3 (S^2)=Z$ generado por $\eta$ .
2. Por Freudenthal, $\pi_3 (S^2) \to \pi_4 (S^3) = \pi_{1}^{st}$ es suryente.
3. Porque $Sq^2: H^2(CP^2;F_2) \to H^4(CP^2;F_2)$ es distinto de cero, el orden de $\eta$ en $\pi_{1}^{st}$ es al menos $2$ (la relación entre estas cosas es que $\eta$ es el mapa de fijación del $4$ -célula de $CP^2$ ).
4. Por una construcción directa, $2\eta$ es establemente nulo-homotópico. Esencialmente, $\eta g = r \eta$ , donde $r,g$ son las conjugaciones complejas en $S^2=CP^1$ y $S^3 \subset C^2$ . $g$ es homotópica a la identidad, $\eta=r\eta$ . El grado de $r$ es $-1$ por lo que después de la suspensión (pero no antes), la composición con $r$ se convierte en tomar la inversa aditiva. Por lo tanto, $\eta=-\eta$ en el tallo estable.

Mi pregunta es si se pueden imitar partes sustanciales de este argumento para $\nu$ . Esto es lo que ya sé y lo que no:

1. Existe una breve secuencia exacta $0 \to Z \to \pi_7 (S^4) \to \pi_6 (S^3) \to 0$ que puede ser dividido por el invariante de Hopf. Así, $\nu$ genera un sumando libre.
2. es el mismo argumento que para $\eta$ .
3. utilizando el mod de operaciones Steenrod $2$ y mod $3$ en $HP^2$ , puedo ver que el orden de $\nu$ en $\pi_{3}^{st}$ es al menos $6$ .
4. esto es un completo misterio para mí y ciertamente para otros-:)). ¿Cómo puedo llevar $24$ en la geometría de la vía? ¿Cómo relaciono los cuaterniones y $24$ ? Lo que se ve inmediatamente es que hay que tener cuidado cuando se habla de conjugaciones en el entorno cuaterniónico, para evitar probar el falso resultado '' $2 \nu=0 \in \pi_{3}^{st}$ ''.

Sé que este resultado se remonta a Serre, pero no encuentro un cálculo detallado en sus documentos y parece que el cálculo utilizando la torre de Postnikov y la secuencia espectral de Serre es un poco largo. Hay otros tres enfoques que conozco, pero son mucho menos elementales: La secuencia espectral de Adams, el J-homorfismo (basta con demostrar que el orden de $\nu$ es $24$ ), bordismo enmarcado (apoyado por cosas como el teorema de Rochlin y la fórmula de firma de Hirzebruch).

¿Alguna idea? P.D.: si hay un argumento similar para la fibración de Hopf octoniónica $S^{15} \to S^8$ (el orden estable es 240), sería realmente genial.

Answer 1

Dijiste que no querías hablar de los colectores enmarcados, pero es una buena forma de ver el 24. $\nu$ está representado por $SU(2)$ en su encuadre invariable. Tomemos una superficie K3. Está encuadrada y tiene la característica de Euler 24. Tomemos un campo vectorial que tiene 24 ceros aislados de índice 1. Si recortamos un pequeño disco alrededor de cada uno de estos 24 ceros, el límite será un $S^3 = SU(2)$ con su encuadre invariante. Así que la superficie K3 menos estos 24 pequeños discos es un bordismo nulo de $24\nu$ . Probablemente no sea adecuado para tu curso, ya que tendrías que explicar el bordismo enmarcado y las superficies K3, pero no obstante es bonito, creo. Por cierto, el análogo de $\eta$ es la biesfera (característica de Euler 2).

Answer 2

Este es realmente un comentario que trata de aclarar el punto que Tilman estaba tratando de hacer pero es demasiado largo. Una superficie K3 tiene un haz canónico trivial (después de todo eso y la conectividad simple es la definición) y por lo tanto el haz de las dos formas autoduales es trivial (ya que en una superficie compleja tenemos $\Lambda^+= \Lambda^{2,0} \oplus R \omega$ , $\omega$ siendo la forma Kahler). De hecho, se deduce del teorema de Yau que las superficies K3 admiten métricas de hiperkahler, por lo que existe es una métrica donde la conexión Levi-Civita es trivial en $\Lambda^+$ .

Dos formas actúan sobre campos vectoriales en una cuatromanifolda a través de la contracción y luego la dualidad bajo estas acciones las formas autoduales actúan como cuaterniones imaginarios (por lo que los cuaterniones figuran en la historia). Así, tomando una base ortonormal de formas autoduales $\omega_1,\omega_2,\omega_3$ y su campo vectorial $X$ usted se obtiene un encuadre (no estable) lejos de los ceros de $X$ , mirando a $(X,(\iota_X \omega_1)^*,(\iota_X \omega_2)^*,(\iota_X \omega_3)^*)$ . Entonces, si el campo vectorial apunta alrededor de cada pequeña 3-esfera que rodea a un cero entonces se ve que el encuadre inducido de cada pequeña esfera es el encuadre del grupo de Lie. Si cada cero del campo vectorial es una fuente, entonces hay 24 ceros (que es la característica de Euler de un K3).

Creo que esta observación se debe a Atiyah.

Answer 3

Existe una observación "medio geométrica" que consiste en que desde $$\pi_3^s\cong H_3(\tilde A_N),\ N\gg0$$ donde $\tilde A_N$ es la extensión central universal del $N$ grupo alterno, los elementos de $\pi_3^s$ podría ser descrito por ciertos 3 ciclos (ojalá de origen geométrico).

Aparentemente esta geometría es más fácil de discernir después de la incrustación $\tilde A_N\hookrightarrow\mathrm{St}_N(\mathbb Z)$ en el grupo Steinberg de los enteros.

(Para un anillo $R$ El grupo $\mathrm{St}_N(R)$ es la extensión central universal de $\mathrm E_N(R)$ - el grupo que para la mayoría de los anillos decentes es el mismo que $\mathrm{SL}_N(R)$ ; uno tiene $K_3(R)\cong H_3(\mathrm{St}(R))$ que en buenos casos se estabiliza después de algunos $\mathrm{St}_N(R)$ .)

En "El invariante de Grassmann generalizado" (finales de los 70) K. Igusa introdujo la técnica de las imágenes para construir un homomorfismo $$\chi:K_3(\mathbb Z[\pi])\to H_0(\pi;\mathbb F_2[\pi]);$$ En sus propias palabras, "La definición de $\chi$ proviene de consideraciones geométricas muy intuitivas, pero lamentablemente el análogo algebraico es bastante torpe".

De todos modos la geometría sigue ahí ya que este mapa está fuertemente relacionado con la pseudoisotopía de las variedades compactas (con $\pi_1=\pi$ y $\pi_2=0$ ). La imagen de $\pi_3^s(B\pi_+)\to K_3(\mathbb Z[\pi])$ está en el núcleo de $\chi$ y para los triviales $\pi$ todo esto le permitió detectar un elemento de orden 48 en $K_3(\mathbb Z)$ ; $\pi_3^s$ es un subgrupo de índice 2 allí. Su imagen representa un generador de $K_3(\mathbb Z)$

me ha perseguido durante décadas. Muestra algo así como " $1/2$ del generador de $\pi_3^s$ vivir fuera $\tilde A_N\hookrightarrow\mathrm{St}_N(\mathbb Z)$ " y seguramente debe haber algo más simple que represente el generador de $\pi_3^s$ dentro de $\tilde A_N$ mismo. Esto no debería ser tan difícil ya que $\tilde A_N$ viene equipado con una incrustación muy explícita y agradable en $\mathrm{Spin}(N)$ ...

Answer 4

No es una respuesta, sino una cosa bonita que puede ser relevante para tu pregunta:

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Esta es otra buena forma de verlo $\eta$ es estable de orden dos.
Utilizamos la constucción Thom-Pontryagin para identificar $\pi_3(S^2)$ con el grupo de cobordismo de los manifolds enmarcados en $\mathbb R^3$ (el encuadre es en el haz normal de 2 dimensiones). El elemento $\eta$ corresponde al desanudado, con un encuadre que se tuerce una vez''.

Consideramos los siguientes dos elementos de $\pi_3(S^2)$ $$S^3\hspace{.2cm}\xrightarrow{\cdot 2}\hspace{.2cm}S^3\hspace{.2cm}\xrightarrow{\eta}\hspace{.2cm}S^2$$ y $$S^3\hspace{.2cm}\xrightarrow{\eta}\hspace{.2cm}S^2\hspace{.2cm}\xrightarrow{\cdot 2}\hspace{.2cm}S^2$$ El primer elemento corresponde a la unión disjunta de dos nudos, cada uno con un encuadre que "se tuerce una vez". Es coordinativo con el nudo con un encuadre que "se retuerce dos veces", y representa el elemento $2\in \pi_3(S^2)\cong \mathbb Z$ .
El segundo elemento representa el doble cableado del nudo: es el enlace de Hopf. Eah uno de los dos círculos tiene un encuadre que "se tuerce una vez", pero también están vinculados entre sí. Con un cobordismo explícito, se puede demostrar que este enlace enmarcado es enmarcado-cobordante con el nudo con un encuadre que "se retuerce 4 veces". Por tanto, representa el elemento $4\in \pi_3(S^2)\cong \mathbb Z$ .

Ahora bien, los grupos estables de homotopía de las esferas forman un anillo en el que los múltiplos enteros de la unidad son centrales (!). Así, a partir de la ecuación $2\circ \eta=\eta\circ 4$ podemos deducir que $2\eta=0$ de forma estable.

Answer 5

Siento repetir un texto de autopromoción que ya mencioné en algún otro lugar de MO, pero mi artículo siguiente está dirigido precisamente al cálculo de $\pi(3)$ por la geometría (teoría de la inmersión).

http://link.springer.com/journal/10958/113/6/page/1

El papel: A. Szűcs: Dos teoremas de Rokhlin. Esto da el cálculo de π(3) por herramientas elementales.

Pero utiliza el siguiente hecho no trivial: El grupo de cobordismo de espín tridimensional es trivial.

Puede leer una prueba de esto último en el mismo número en el artículo de A. Stipsicz.

Pero una prueba más sencilla para esto está en:

Melvin, P.; Kazez, W. 3-dimensional bordism. Michigan Math. J. 36 (1989), no. 2, 251-260.