Este es un ejercicio de Rudin del libro,
La construcción de un continuo de la monotonía de la función $f$ $\mathbb{R}^1$ que no es constante en cualquier segmento, sino $f'(x)=0$.e.
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hakan
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Me encontré con un ejemplo de esta función hace algún tiempo. Se llama Minkowski la Pregunta de la Función de Marca, y se denota simplemente por $ ? $. Minkowski se define así lo que sería el mapa de la cuadrática irrationals (es decir, los números de la forma $ \dfrac{a + b \sqrt{c}}{d} $, donde $ a,b \in \mathbb{Z} $, $ d \in \mathbb{Z}^{\times} $ y $ c \in \mathbb{N} $ es cuadrado-libre) contenida en el intervalo abierto $ (0,1) $ a los racionales en $ (0,1) $ en una continua y el fin de la preservación de la forma. Más precisamente, $ ? $ toma el número de $ x $ con la continuación de la fracción expresión $ [0;a_{1},a_{2},a_{3},\ldots] $ el número de $$ ?(x) \stackrel{\text{def}}{=} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k - 1}}{2^{(a_{1} + \cdots + a_{k}) - 1}}. $$ De acuerdo a [Salem 1943], la función de $ ? $ satisface las siguientes propiedades:
- $ ? $ es continua en a $ [0,1] $.
- $ ? $ es estrictamente creciente.
- $ ? $ es puramente singular.
Como tal, $ ? $ es a veces llamada la Resbaladiza Diablo de la Escalera, frente a la Escalera del Diablo, que es en realidad constante en algunos intervalos.
Como el ejercicio es de uno de Rudin los tres libros (que es la Real y el Análisis Complejo?), Creo que una solución no debe ser tan complicado. De todos modos, si $ f $ NO es necesario ser continua, entonces el siguiente ejemplo básico de las obras. En primer lugar, enumerar $ \mathbb{Q} $ como una secuencia $ (q_{n})_{n \in \mathbb{N}} $. A continuación, para cada una de las $ n \in \mathbb{N} $, definir una función de paso de $ f_{n}: \mathbb{R} \rightarrow [0,1) $ por $$ f_{n} \stackrel{\text{def}}{=} \frac{1}{2^{n}} \cdot \chi_{[a_{n},\infty)}. $$ Por último, definir $$ f \stackrel{\text{def}}{=} \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}. $$ Esta función está bien definida porque pointwise, su valor es definido por un positivo de una serie infinita que es termwise dominado por una convergente positivo de la serie geométrica (esto automáticamente hace que $ f $ positivo). Se está incrementando debido a que se trata de una suma de funciones crecientes. Es estrictamente creciente debido a que los racionales son densos en $ \mathbb{R} $. Finalmente, podemos aplicar el teorema de Fubini en el termwise-la diferenciabilidad de una serie con la monotonía de los términos a la conclusión de que la $ f' = 0 $ en casi todas partes (para entender este último reclamo, por favor consulte mi solución a otro problema publicado en el MSE: Demostrar $\sum_{n=1}^{\infty}f_n'(x)<\infty$$(0,1)$, cuando no negativo y el aumento de la función $\lim_{x\to \infty}\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)<\infty$). Sin embargo, $ f $ no es continua en los racionales.
Tal vez si uno trabaja a lo largo de estas líneas, entonces uno podría ser capaz de producir un ejemplo más sencillo de Minkowski la Pregunta de la Función de Marca.
Referencias
Minkowski, H., "Zur Geometrie der Zahlen." En Gesammelte Abhandlungen, Vol. 2. Nueva York: Chelsea, pp 44-52, 1991.
Salem, R. "Sobre Algunos Singular Monotonía de las Funciones que Son Estrictamente Creciente." Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 53, 427-439, 1943.
