Transformación de $\frac{\partial A_i}{\partial x^n}$ en el espacio euclidiano: ¿Tensor o no?

Question

Dejemos que $A_i$ se transforma en un vector covariante. Entonces, ¿cómo se transforma la cantidad $\frac{\partial A_i}{\partial x^n}$ ¿se transforman bajo transformaciones de coordenadas? $$\frac{\partial A^\prime_k}{\partial x^{\prime m}}=\frac{\partial x^i}{\partial x^{\prime k}}\frac{\partial x^n}{\partial x^{\prime m}}\frac{\partial A_i}{\partial x^n}+\frac{\partial^2 x^i}{\partial x^{\prime m}\partial x^{\prime k}}A_i$$

Consideremos dos transformaciones de coordenadas diferentes: (i) Rotación de una coordenada cartesiana en otra y (ii) cambio de coordenadas cartesianas a polares esféricas. En el primer caso, el segundo término es cero porque los coeficientes de transformación son constantes. Así que se comporta como un tensor . En el segundo caso, el segundo término es no cero . Así que no se comporta como un tensor .

Entonces, ¿qué hay que decir? ¿Es el objeto $\frac{\partial A_i}{\partial x^n}$ un tensor en el espacio euclidiano o no?

Nota Soy estudiante de física y mis conocimientos de terminología matemática son limitados. Así que, por favor, responda en un lenguaje sencillo. Gracias de antemano.

Answer 1

El segundo término debe siempre sea cero para que el objeto sea un tensor, por lo que el objeto $\frac{\partial A_i}{\partial x^n}\equiv \partial_n A_i$ es pas un tensor. Esta es exactamente la motivación para introducir el derivada covariante que es la modificación adecuada de la derivada normal para que el objeto $\nabla_n A_i$ nunca tiene el segundo término y por lo tanto es un tensor.