Aplicación del pequeño teorema de Fermat para comprobar la divisibilidad

Question

Usando el pequeño teorema de Fermat para demostrar:
$(i)19\mid 2^{2^{6k+2}}+3$ , donde $k=0,1,2.....$
$(ii)13\mid 2^{70}+3^{70}$
Mi enfoque : No se me ocurría cómo ir con $(i)$ pero he intentado $(ii)$ para mostrar $2^{70} \equiv 0\pmod {13}$ y $3^{70} \equiv 0\pmod {13}$ .desde,
$$2^{12} \equiv 1 \pmod {13}\Rightarrow (2^{12})^5\equiv 1 \pmod {13}\Rightarrow2^{60} \equiv 1 \pmod {13}$$ Otra vez, $$2^4 \equiv 3 \pmod {13}\Rightarrow2^8.2^2 \equiv 10\pmod {13}$$ Usando ambos resultados:
$2^{70} \equiv 10\pmod {13}$
He vuelto a fracasar en demostrarlo. Cualquier pista o solución será apreciada.
Gracias de antemano.

Answer 1

Tenemos $$2^{6k+1}\equiv 8^{2k}\cdot 2\equiv 2\pmod{9}$$ de la cual $$2^{6k+2}\equiv 4\pmod {18}$$ por lo tanto, por el pequeño teorema de Fermat $$2^{2^{6k+2}}\equiv 2^4\equiv -3\pmod {19}$$

Para el segundo $2^4\equiv 3\pmod {13}$ y $2^{12}\equiv 1\pmod {13}$ por Fermat poco theoren por lo tanto $$2^{70}+3^{70}\equiv 2^{70}+2^{280}\equiv 2^{10}+2^{4}\equiv 9\cdot 4+3\equiv 0\pmod {13}$$

Answer 2

$n|a + b$ no significa que $n|a$ y $n|b$ . Esto significa que si $a \equiv k \mod n$ entonces $b \equiv -k \mod n$ .

Así que si $2^{70}\equiv 10 \mod 13$ (que lo es) entonces $13|2^{70} + 3^{70}$ si $3^{70} \equiv -10 \mod 13$ .

Hace $3^{70}\equiv -10 \mod 13$ ?

Bueno, si $0 < a < 13$ entonces $a^{12} \equiv 1 \mod 13$ y $a^{60} = (a^{12})^5\equiv 1 \mod 13$ así que $a^{70} \equiv a^{10}\mod 13$ .

Y $2^{10} \equiv 10 \mod 13$ .

Y $3^3 \equiv 27 \equiv 1 \mod 13$ así que $3^9 \equiv 1^3 \mod 13$ y $3^{10} \equiv 3 \equiv -10 \mod 13$ .

Así que $2^{70} + 3^{70}\equiv 2^{10} + 3^{10} \equiv 10 + (-10)\equiv 0 \mod 13$ .

i) es mucho más difícil pero la idea es que como $2^{18} \equiv 1 \mod 19$ entonces si $2^{6k + 2}\equiv m \mod 18$ entonces $2^{2^{6k+2}}\equiv 2^m \mod 19$ .

$2^{6k+2} = 64^k*4 = (7*9 + 1)^k*4$ . Nota $(7*9 + 1)^k$ será $1$ más que un múltiplo de $9$ . Así que $(7*9 + 1)^k*4$ será $4$ más que un múltiplo de $4*9 = 2*18$ . Así que $2^{6k+2} \equiv 4 \mod 18$ .

Y $2^{2^{6k + 2}}\equiv 2^4 \equiv 16 \mod 19$ .

Así que $2^{2^{6k+2}}+3 \equiv 16 + 3 \equiv 0 \mod 19$ .

Answer 3

En (mod 13): $3^{70} = 9^{35} = (-4)^{35} = -(4^{35}) = -(2^{70})$

Pues eso: $2^{70} + 3^{70} = 0 (mod 13)$

La idea principal es: $3^2 = (-1)2^2$ (mod 13)

Para todos los impar n: $13$ $|$ $2^{2n} + 3^{2n}$