Momentos de "palmada en la frente" - Grandes Éxitos

Question

A todos nos ha pasado: tenemos una "prueba" tan bonita... pero sabemos que está mal. O bien demuestra algo que sabemos que es falso, o la prueba no utiliza una de las hipótesis que sabemos que necesita, o suponemos algo que no podemos suponer... y todo el bonito argumento desaparece. Tuve un profesor que decía que a veces se convence de que alguna prueba funciona justo antes de irse a la cama, sólo para despertarse y descubrir que es una total tontería. Dice que probablemente es un mecanismo de adaptación que tiene su cuerpo para poder dormir.

Aunque las pruebas a menudo acaban siendo insalvables (¿es esa una palabra?), creo que son una parte importante del aprendizaje de las matemáticas y de la creatividad. Creo que fue Sir Ken Robinson (no es matemático, pero sí un buen pensador) quien dijo algo así como "equivocarse no siempre es bueno, pero si no tenemos la capacidad de equivocarnos nunca podremos ser creativos". (Si alguien conoce la cita exacta, que la complete).

Así que oigámoslas: tus bonitas pruebas que resultan ser un sinsentido. Al igual que el bien escrito "Cómo no demostrar la conjetura de Poincare", estas pueden ser pruebas bien pensadas que tienen una pequeña suposición oculta que hace que todo explote, o pueden ser totalmente tontas como la vez que pensé que había demostrado el teorema del punto fijo de Brouwer usando el teorema de la categoría de Baire durante mi primer año...

Puntos extra si los métodos "falsos" de alguien (o una adaptación cercana) terminaron funcionando para un problema diferente más adelante.

Answer 1

Aquí hay cuatro falacias tentadoras que he visto, que en mi opinión son todas enseñables e interesantes:

1. Un espacio de cobertura finito de un disco con un número finito de agujeros, es de nuevo un disco con un número finito de agujeros; en particular, sigue siendo plano.

2. Si alargas las tres aristas de un triángulo, su área aumenta.

3. Si $F$ es un campo con dos subcampos de índice finito $K$ y $L$ entonces $K \cap L$ también tiene índice finito en $F$ .

4. Hay exactamente dos grupos de Lie hasta el isomorfismo que son difeomorfos a un par de círculos.

Answer 2

Una vez me hicieron una pregunta (en un examen para llevar a casa) del siguiente tenor: Una secuencia de funciones medibles acotadas de valor complejo $f_n (x)$ en un espacio de probabilidad $X$ con las funciones $f_n$ satisfaciendo algunas condiciones que no especificaré aquí. El problema era demostrar que el $L^2 (X)$ el límite de la secuencia es una determinada función dada $f(x)$ . Después de pensarlo un poco, se me ocurrió la siguiente "solución": Definí una secuencia de funciones $g_n (x,y) \in L^2 (X \times X)$ y una función $g(x,y) \in L^2 (X \times X)$ tal que $g_n (x,x) = f_n (x)$ y $g(x,x)=f(x)$ para todos $x \in X$ y demostré que $g_n (x,y) \to g(x,y) \;$ en $L^2 (X \times X)$ . Estaba seguro de que, de hecho, había demostrado una generalización de la proposición que me habían dado.

Vergonzosamente, tardé en darme cuenta de mi error. Intenté salvar mi prueba utilizando argumentos de continuidad y demás, pero al final me rendí y conseguí inventar un enfoque diferente, que desgraciadamente era mucho más complicado y desordenado.

Answer 3

Por algún problema de Topología Algebraica (presumiblemente relacionado con grupos de homotopía o similares, con grupos libres): He pensado que dos grupos $G$ , $H$ eran isomórficos, porque $G \approx A \subseteq H \approx B \subseteq G$ , donde $\approx$ significa " es isomorfo a " y $\subseteq$ significa " es un subgrupo de ".

Sin embargo, me quedé muy sorprendido cuando me informaron de que esto NO implica que $G \approx H$ ¡en general! ( Creía que esto era cierto, y pasé mucho tiempo intentando demostrarlo; pero sabía que no lo había conseguido. Así que supongo que esto no se puede calificar, pero de todos modos ).

Answer 4

Yo pensaba que el teorema pq de Burnside era muy sencillo de demostrar. Basta con utilizar que si un grupo finito tiene un subgrupo de Hall de cada orden posible, entonces es soluble. Cuando por fin me molesté en mirar la prueba real de este hecho resultó, por supuesto, utilizar a Burnside como base para la inducción.