Integral de un producto de polinomios ortogonales sobre el dominio

Question

Dejemos que $\phi_i (x)$ con $x \in I \subseteq \mathbb{R}$ sean polinomios ortogonales de orden i con respecto a la función de peso $w(x)$ .

¿Es la siguiente integral finita para cualquier polinomio ortogonal y cada $n$ ? ¿Por qué?

$\int_I \prod_{i=0}^{n} \phi_i (x) w(x) dx $

para $n \in \mathbb{N}^{*}$ .

Answer 1

Permítanme demostrar lo siguiente \begin{align} \int^\infty_0 P_n(x)e^{-x}\ dx <\infty \end{align} para cualquier polinomio $P_n(x)$ . Basta con demostrar la integral para $P_n(x)= x^n$ . Observar \begin{align} \int^\infty_0 x^ne^{-x}\ dx =&\ \int^\infty_0 (-1)^n\frac{d^n}{dt^n}e^{-tx}\bigg|_{t=1}\ dx = (-1)^n\frac{d^n}{dt^n}\int^\infty_0 e^{-tx}\ dx\\ =&\ (-1)^{n} \frac{d^n}{dt^n} \left(\frac{1}{t}\right)\bigg|_{t=1} = n!. \end{align}