Dimensión VC de los conjuntos de Borel

Question

¿Puede haber un conjunto incontable $S\subseteq\mathbb R$ tal que para cada subconjunto $D\subseteq S$ existe un conjunto de Borel $U$ con $D=S\cap U$ ?

Lo pregunto por mera curiosidad, pero mencionaré que esto implicaría $2^{\aleph_1}=2^{\aleph_0}$ . Se trata de una adaptación, espero que más interesante, de un reciente pregunta demasiado fácil .

Answer 1

Sí. El axioma de Martin implica que si $S \subseteq \mathbb R$ y $|S| < \mathfrak{c}$ entonces todo subconjunto $D$ de $S$ es un pariente $G_\delta$ en $S$ es decir, hay un $G_\delta$ set $X \subseteq \mathbb R$ con $X \cap S = D$ . (Y permítanme señalar que $2^{\aleph_0} = 2^{\aleph_1}$ es otra consecuencia del axioma de Martin).