Existencia de límite de una función de variable compleja.

Question

Digamos que tengo una función $f(z)=f(x+iy)=f(x,y)$ y quiero investigar si el límite en un punto particular, digamos $z=0$ existe.

Recuerdo que dentro del dominio de los números reales, comprobé si los límites "derecho" e "izquierdo" eran iguales.

Ahora bien, ¿es posible hacer esto de manera similar cuando $z$ es complejo?
Por ejemplo, ¿es suficiente con dejar $z = re^{i \phi}$ y comprobar si el límite cuando $r$ va a $0$ es independiente de $\phi$ ?

Muchas gracias.

Answer 1

Por desgracia, en $\mathbb{C}$ (o realmente $\mathbb{R}^2$ aquí) no bastará con comprobar una "dirección" concreta. Hay que manejar una secuencia general.

Para un contraejemplo, considere la función (muy discontinua) $f$ , de tal manera que $f(1/n, 1/n^2) = 1$ pero para todos los demás argumentos $f(x,y) = 0$ . Entonces claramente el límite de $f$ no existe en $0$ pero para cualquier $\phi$ tienes $f(r e^{i\phi}) = 0$ excepto, como máximo, un valor de $r$ .

Dicho esto, al pasar a las subsecuencias, generalmente se puede asumir que $x_n \to 0$ ya sea desde arriba o desde abajo, y lo mismo para $y$ . De forma más general, si se realiza una partición $\mathbb{C}$ en un número finito de piezas, se puede trabajar con secuencias cuyos elementos caen en una sola pieza.