Demostrando que $\bigg|\int_{\Gamma}\frac{1}{z^2}dz\bigg|\leq2 $

Question

Demostrando que $\bigg|\displaystyle\int_{\Gamma}\frac{1}{z^2}dz\bigg|\leq2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Gamma:$ de $z_0=-1+i$ al grano $z_1=1+i$

Mi intento:

Dejemos que $\mathscr{L}:=$ longitud $(\Gamma)=2,\,\,\,\,\,$ dejar $\mathscr{M}:=\max\limits_{\mathscr{M}\in \Gamma}|f(z)|=1\Longrightarrow\bigg|\displaystyle\int_{\Gamma}\frac{1}{z^2}dz\bigg|\leq\mathscr{M}\mathscr{L}\quad\blacksquare$

¿Mi intento es correcto?

Answer 1

En realidad, no importa lo que $\Gamma$ es - el integrando es analítico y por lo tanto la integral sólo depende de los puntos finales $z_0$ y $z_1$ . Así,

$$\int_{\Gamma} \frac{dz}{z^2} = \frac1{z_0}-\frac1{z_1} = \frac1{-1+i} - \frac1{1+i} = -\frac{2}{2} = -1$$