En la página 72 de PDE evans, la línea después de la ecuación $(21)$ dice:
$$\frac{1}{| \partial B(x,t)|}\int_{\partial B(x,t)} g(y) \, dS(y) = \frac{1}{| \partial B(0,1)|}\int_{\partial B(0,1)} g(x+tz) \, dS(z)$$
Tampoco entiendo la derivación de ésta. Todo lo que sé es que están sustituyendo $y=x+tz$ . Entonces se supone que debes transformar $(x,t) \rightarrow (0,1)$ y $dS(y) \rightarrow dS(z)$ de alguna manera. Pero aquí es donde estoy atascado.
La transformación lineal $L(z) = x+tz$ tiene las siguientes propiedades:
$L(0)=x$
$|L(a)-L(b)|=t|a-b|$ para todos $a,b$
En consecuencia, $L(\partial B(0,1))=\partial B(x,t)$ . Además, como la transformación escala todas las distancias por el factor de $t$ , escala el $k$ -medida de conjuntos por $t^k$ . En particular, por último, $dS(y)=t^{n-1} dS(z)$ . Este factor de $t^{n-1}$ se anula porque $$|\partial B(x,t)|=t^{n-1}|\partial B(0,1)|$$
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