Multiplicar utilizando el recíproco, la suma y la resta

Question

Dejemos que $a,b\in\mathbb{R}$ . ¿Cómo podemos calcular $a\times b$ utilizando únicamente las siguientes operaciones (con cualquier real) :

• $\frac{1}{*}$ (inverso)
• $*+*$ (adición)
• $*-*$ (sustracción)

?

Answer 1

Afirmo que es imposible. Dejemos que $a = b = \sqrt{2}$ . Entonces cualquier número que puedas hacer con tus operaciones es un múltiplo racional de $\sqrt{2}$ y, en particular, no puede hacer $ab = 2$ .

editar: esta respuesta se dio cuando no estaba claro si se permitía el uso de constantes reales arbitrarias. Asumí que no lo estaba, pero la pregunta ha sido editada para indicar que sí lo está. De todos modos, mantengo esta respuesta porque a la gente parece gustarle.

Answer 2

Construye primero la función cuadrada, como sigue.

Si $x\neq -1,0$ entonces $\displaystyle x^2= \frac{1}{\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}}-x$

Cuadrando $0$ y $-1$ es trivial.

Ahora, $\displaystyle xy=\frac{(x+y)^2-(x-y)^2}{4}$