Tengo algunas preguntas sobre las gavillas retorcidas tal como se definen en Hartshorne, II.15.
1) Que $X = \text{Proj}(S)$ para un anillo graduado $S$ . Entiendo cómo Hartshorne define las gavillas $\mathcal O_X(n)$ para $n \in \mathbb Z$ . Entonces, para cualquier gajo de $\mathcal O_X$ -módulos $\mathcal F$ y cualquier $n \in \mathbb Z$ define $\mathcal F(n) := \mathcal F \otimes_{\mathcal O_X} \mathcal O_X(n)$ . Yo también lo entiendo.
Ahora dejemos que $Y$ sea cualquier esquema proyectivo sobre un anillo noetheriano $A$ es decir, un esquema $Y$ junto con un morfismo $\psi : Y \to \text{Spec}(A)$ tal que existe una inmersión cerrada $i : Y \to \mathbb P_A^r$ para algunos $r \in \mathbb N$ con $\psi = gi$ , donde $g$ es el morfismo natural $\mathbb P_A^r = \mathbb P_{\mathbb Z} \times_{\mathbb Z} \text{Spec}(A) \to \text{Spec}(A)$ . En esta situación, Hartshorne utiliza (por ejemplo, en II.5.17) la notación $\mathcal F(n)$ para que sea coherente $\mathcal O_Y$ -Módulo $\mathcal F$ . Mi pregunta es:
¿Cómo es exactamente $\mathcal F(n)$ ¿se define en este contexto? (Mi idea: tengo que elegir una gavilla muy amplia $\mathcal O(1)$ en $Y$ (como se define en II.5.17) y definir $\mathcal F(n) := \mathcal F \otimes_{\mathcal O_Y} \mathcal O(1)^{\otimes n}$ . Esto tiene sentido incluso en el caso de las $n$ desde $\mathcal O(1)$ es invertibel).
2) Dos preguntas sobre la demostración del teorema II.5.17 de Hartshorne. En la primera frase, Hartshorne elige para una gavilla invertible muy amplia $\mathcal O(1)$ en $X$ una inmersión cerrada $i : X \to \mathbb P_A^r$ tal que $i^*(\mathcal O(1)) = \mathcal O_X(1)$ .
¿Por qué podemos hablar de la imagen inversa de $\mathcal O(1)$ aunque $\mathcal O(1)$ se define en $X$ ?
¿Por qué la inmersión $i$ ¿se elige para ser cerrado?
3) Que $X$ sea un esquema proyectivo y $\mathcal F$ cualquier gajo de $\mathcal O_X$ -módulos. ¿Es cierto que $\Gamma(X,\mathcal F(n)) = 0$ para $n<0$ ?
Si no es así, ¿es cierto para $n<<0$ ?
Gracias de antemano.
