Subgrupos Sylow e isomorfismo

Question

Dejemos que $P$ un subgrupo Sylow-2 de $S_n$ . ¿Cómo podemos demostrar que todos los subgrupos Sylow-2 de $S_{n+2}$ isomorfo a $P\times C_2$ si y sólo si $n\equiv 0 (\mod 4)$ o $n\equiv 1 (\mod 4)$ .

¿Podría ayudarnos, por favor?

Answer 1

Pista - ¿Qué puede decir sobre el orden de los Sylow- $2$ subgrupos de $S_{n+2}$ en los distintos casos de $n$ modulo $4$ ?

El texto oculto a continuación ofrece algunos detalles más sobre una forma de pasar. No he hecho todo el trabajo - hay algunos detalles que añadir. Si piensas en ello deberías ver cómo hacer algunos ajustes y mejoras.

Si $n=4m$ entonces $n+1$ es impar y $n+2=4m+2=2(2m+1)$ es el doble de un número impar. Por lo tanto, el orden $(n+2)!$ de $S_{n+2}$ tiene precisamente un factor más de $2$ que el orden de $S_n$ . En el caso de $n=4m+1$ el único factor extra de $2$ también proviene de $4m+2$ . De ahí que el Sylow $2-$ subgrupo de $S_{n+2}$ tiene orden $2|P|$ para reflejar el factor adicional de $2$ . $P\times C_2$ tiene el orden correcto. Tomando $S_m$ como el grupo de permutaciones en la primera $m$ enteros positivos, podemos utilizar $(n+1\text{ } n+2)$ como una transposición que conmuta con todo en $S_n$ para obtener un grupo precisamente de esta forma. Como todos los subgrupos de Sylow para un primo dado son conjugados, todos tienen este orden y forma. Eso hace la parte "si". Para el "sólo si" hay que pensar qué ocurre para $n=4m+2$ y $4m+3$ y los factores adicionales de $2$ que recoges. Debería poder concluir que, aunque $P\times C_2$ es un $2-$ grupo es demasiado pequeño para ser un Sylow $2-$ subgrupo.