¿Se cumple el axioma negativo en un universo que sólo contiene 0 y 1?

Question

Estoy estudiando por mi cuenta el maravilloso libro, Geometría elemental desde un punto de vista avanzado .

En el capítulo 1, problema 19 dice: Supongamos que los elementos de R fueron 0 y 1 con la suma y la multiplicación definidas por estas tablas. ¿Cuál de los postulados es verdadero?

+  |  0  1       
---|------
0  |  0  1
1  |  1  0

.  |  0  1       
---|------
0  |  0  0
1  |  0  1

Uno de los postulados es este:

A-4 Para cada a en R hay exactamente un número -a en R , llamado el negativo de a , de tal manera que

a + (-a) = (-a) + a = 0

Obviamente, no hay números negativos en las tablas anteriores. Por lo tanto, podría argumentar que A-4 sí no aguantar.

Por otro lado, según algunas respuestas a otras preguntas que he leído, en matemáticas no importan los símbolos concretos, sino que los símbolos (sean los que sean) presenten las propiedades deseadas, como la conmutatividad y la asociatividad. ¿Lo he entendido bien? Esto es una verdadera epifanía para mí.

Por lo tanto, para cada número de las tablas anteriores existe efectivamente un número que al sumarlo da como resultado 0 :

0 + 0 = 0
1 + 1 = 0

Por lo tanto, ahora argumentaré que A-4 hace aguantar.

¿Qué es correcto, A-4 se mantiene o A-4 no se mantiene?

Answer 1

Has respondido a tu propia pregunta: A-4 se mantiene porque 0+0=0 y 1+1=0. Tu R es el campo con 2 elementos.

Answer 2

Como ha señalado, el axioma $\rm\,A\!\!-\!\!4\,$ es cierto. Este axioma afirma que todo elemento $\rm\,a\,$ de un campo tiene un inverso aditivo $\rm\: -a,\:$ llamado negativo $\rm a\:$ o menos $\rm a\:$ (al igual que recíproco denota los inversos multiplicativos). Se comprueba fácilmente que dichas inversiones son únicas, por lo que se obtiene una operación $\rm\:a\to -a\:$ llamada "negación". Esta terminología, que denota una inversa no debe confundirse con el uso (relacionado) de "negativo" para denotar la propiedad de ser $< 0$ en un campo ordenado.