Necesito encontrar el máximo número de raíces del polinomio $g(x)=ax^4+bx+c$ definido en el intervalo $[-1,1]$ puede tener.
El ejemplo intuitivo y geométrico muestra que no puede tener más de dos. Mi método consiste en encontrar $g'(x)=4ax^3+b=0$ , da $x$ con max/min en un punto, por lo tanto máximo dos raíces.
¿Alguien podría probarlo mejor/más rigurosamente?
Gracias, Li
Suponiendo que $a$ , $b$ , $c$ son números reales y $a \ne 0$ , $g'(x) = 0$ tiene exactamente una solución real $x_0 = \sqrt[3]{-b/4a} \, $ .
Según Teorema de Rolle , diferentes raíces de $g$ están separadas por raíces de $g'$ Por lo tanto $g$ puede tener como máximo dos raíces reales, y en particular a lo sumo dos raíces en el intervalo $[-1, 1] \,$ .
Si $x_0 \le -1$ o $x_0 \ge 1$ entonces $g$ es estrictamente monótona en $[-1, 1]$ y por lo tanto tiene como máximo una raíz en ese intervalo. Debido a la Teorema del valor intermedio , $g$ tiene una raíz en $[-1,1]$ exactamente si $g(-1)g(1) \le 0$ .
Si $-1 < x_0 < 1$ entonces $g$ es estrictamente monótona en cada una de las intervalos $I_1 = [-1, x_0]$ y $I_2 = [x_0, 1]$ . $g$ tiene una raíz en $I_1$ si $g(-1)g(x_0) \le 0$ y $g$ tiene una raíz en $I_2$ si $g(x_0)g(1) \le 0$ .
Por el teorema fundamental del álgebra puede tener hasta 4 raíces.
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