Dejemos que $A$ sea un anillo y consideremos el anillo de polinomios en $n$ variables $A[x_1,\ldots,x_n]$ . Sea $f\in A[x_1,\ldots,x_n]$ . Si tenemos eso $f(a_1,\ldots,a_n)=0$ para $a_i\in A$ entonces me preguntaba, si es cierto, que podemos factorizar $f$ como $f(x_1,\ldots,x_n)=b_1(x_1,\ldots,x_n)(x_1-a_1)+\ldots+b_n(x_1,\ldots,x_n)(x_n-a_n)$ para $b_i(x_1,\ldots,x_n)\in A[x_1,\ldots,x_n]$ ?
Respuesta
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Si $k$ es un campo y $p$ es un punto, entonces el conjunto de todos los polinomios de $k[x_1,\dots,x_n]$ que se desvanecen en $p$ forman un ideal máximo, a veces llamado $m_p$ . Con un poco de trabajo, se puede demostrar que $$ m_p=\langle x_1-p_1,x_2-p_2,\dots,x_n-p_n \rangle. $$ En su caso (si $A$ es un campo), entonces estás empezando con un polinomio en $m_p$ y como $m_p$ es generado por los términos lineales $x_i-p_i$ Hay una representación como la que usted describe.
Si $A$ no es un campo en su caso, sino un anillo más general, entonces algunos de estos hechos se rompen (por ejemplo, considere los ideales máximos de $\mathbb{Z}[x]$ ).
Para los anillos generales, si se escribe $f(x_1,\dots,x_n)$ como $x_1f_1(x_1,\dots,x_n)+g_1(x_2,\dots,x_n)$ entonces $$ f(x_1,\dots,x_n)-f_1(x_1,\dots,x_n)(x_1-p_1)=p_1f_1(x_1,\dots,x_n)+g_2(x_2,\dots,x_n), $$ que tiene un grado inferior en $x_1$ . Continuando de esta manera, se pueden restar todos los $x_1$ términos, entonces el $x_2$ términos, etc. Por lo tanto, podemos escribir $$ f(x_1,\dots,x_n)-h(x_1,\dots,x_n)=c $$ donde $h\in \langle x_1-p_1,\dots,x_n-p_n\rangle$ y $c\in A$ . Sustituyendo $p$ en esta ecuación, el LHS desaparece, por lo que $c=0$ . Por lo tanto, $f$ puede escribirse como usted lo describe.
