Sé que si ambos límites $$ \lim_{x\to a} f(x) \quad\text{and}\quad \lim_{x\to a} g(x) $$ existen (por lo que ambos son iguales a números reales), entonces $$ \lim_{x\to a} f(x) + g(x) = \lim_{x\to a} f(x) + \lim_{x\to a} g(x) $$ También se podría utilizar la diferencia o el producto en lugar de la suma. Esto implica que el límite de la suma de las dos funciones existe. Es fácil ver que lo contrario no es cierto. Es decir, el límite de la suma puede existir sin que existan los límites de las dos funciones.
También puedo ver cómo esto puede ampliarse para incluir los casos en los que, digamos, $\lim_{x\to a} f(x) = \infty$ (por lo que no existe) y $\lim_{x\to a} g(x)$ existe (si entendemos que $\infty + b = \infty$ para todos $b\in \mathbb{R}$ .
También veo que la gente utilizará esta propiedad sin argumentar primero que los dos límites existen. Por ejemplo $$ \lim_{x\to 1} x + x^2 = \lim_{x\to 1} x + \lim_{x\to 1} x^2 = 1 + 1 = 1 $$ Es decir, posiblemente haya que afirmar primero que $\lim_{x\to 1} x$ y $\lim_{x\to 1} x^2$ ambos existen antes de utilizar la regla. Pero en todos los ejemplos que he visto de límites, esto nunca es un problema. Es decir, no recuerdo haber visto nunca un cálculo de un límite en el que se utilice la regla asumiendo que los dos límites existen, pero en el que uno de los límites no exista de hecho, pero se acabe obteniendo una respuesta (incorrecta).
Por último, ésta es mi pregunta: ¿Cuál es un ejemplo de un límite en el que se utiliza falsamente la regla $$ \lim_{x\to a} f(x) + g(x) = \lim_{x\to a} f(x) + \lim_{x\to a} g(x) $$
