¿Existe un polinomio $f\in \mathbb Q[x]$ tal que $f(x)^2=g(x)^2(x^2+1)$

Question

Me hicieron la siguiente pregunta:

$g\in \mathbb Q[x]$ es un polinomio (no el polinomio cero).

Encuentre $f \in \mathbb Q[x]$ tal que $f(x)^2=g(x)^2(x^2+1)$ o demostrar que tal $f$ no existe.

La verdad es que no tengo ni idea de por dónde empezar y agradecería toda la ayuda que pueda recibir para solucionar esto.

Answer 1

Una pista: ¿Pueden existir enteros $a$ y $b$ tal que $a^2=b^2\cdot p$ , donde $p$ es un número primo?

Answer 2

Sugerencia $\ $ La mayoría de las pruebas que muestran $\sqrt{p}$ irracional también funcionan para demostrar que $\sqrt{x^2+1}$ es un polinomio irracional, es decir, no es un cociente de polinomios, por ejemplo, comparar la paridad de los exponentes del primo $\,p = x^2+1\,$ en $\, f^2 = pg^2\,$ utilizando el singularidad de las factorizaciones primarias. O aplicar el Prueba de la raíz racional para deducir cualquier raíz (función) racional $\,Y\,$ de $\ Y^2 - (x^2+1)\, =\, 0\,$ debe tener un denominador que divida $\,1,\,$ así que $\,x^2+1 = Y^2\,$ es el cuadrado de un polinomio, contradicción. O emplear la identidad gcd de Bezout, como en la prueba siguiente. La mayoría de las pruebas que utilizan la factorización primaria única se generalizan a cualquier anillo con esta propiedad (un UFD o posiblemente también a los dominios gcd), y la mayoría de las pruebas que utilizan la identidad gcd de Bezout se generalizan a cualquier PID.

Teorema $\quad \rm r = \sqrt{f}\;\;$ es un polinomio, $ $ si es una función racional, $ $ para el polinomio $\:\rm f\in\mathbb{Q}[x]$

Prueba $\ \ $ Dejemos que $\rm\,\ \color{#0a0}{r = \large{\frac{a}b}},\ a,b\in{\Bbb Q}[x],\,\ \gcd(a,b) = 1\ \Rightarrow\ \color{#C00}{ad\!-\!bc \,=\, \bf 1}\;$ para $\:\rm c,d \in \mathbb{Q}[x]\,\ $ por Bezout, desde $\,\Bbb Q[x]\,$ tiene División con resto menor, por lo que tiene un algoritmo gcd euclidiano.

$\rm\color{#C00}{That\,}$ y $\rm\: r^2\! = \color{#90f}{\bf f}\:\Rightarrow\ \color{#0a0}{0\, =\, (a\!-\!br)}\, (c\!+\!dr) \ =\ ac\!-\!bd\color{#90f}{\bf f} \:+\: \color{#c00}{\bf 1}\cdot r \ \Rightarrow\ r \in \mathbb{Q}[x]\ \ \ $ QED

La prueba se generaliza fácilmente a las raíces de monic polinomios cuadráticos (y a grados superiores ).

Answer 3

Sugerencia Si $P(x) \in \mathbb Q[x]$ y $x^2+1|P^2(x)$ entonces $P(\pm i)=0$ . Utilice esto para deducir que $X^2+1 |P(X)$ .