La función $f:\mathbb {R}^2 \to \mathbb{R}$ se define por $$f(x,y) = \begin{cases} 0 , & \text{ y$\lt$o} \\ \sin x+2\cos y, & \text{ 0 $\le{y}\lt{\frac{\pi}{2}}$}\\ \cos x+2\sin y, &\text{$\frac{\pi}{2} \le{y}\lt\pi$}\\ \cos x ,&\text{$y\ge\pi$} \end{cases}$$
Los ejes donde $f$ es discontinuo son
i) $y=0, y={\frac{\pi}{2}}$ & $y={\pi}$
ii) $y=0, y={\frac{\pi}{2}}$
iii) $y={\frac{\pi}{2}}$ & $y={\pi}$
iv) en ninguna parte
Arreglar $x$
$\lim_{y\to 0^{-}}f(x,y)=0$ y $\lim_{y\to 0^{+}}f(x,y)=\lim_{y\to 0^{+}}\sin x+2\cos y=\sin x+2$
Los límites de la izquierda y de la derecha no son los mismos. Por lo tanto, no son continuos en $y=0$ .
$\lim_{y\to {\frac{\pi}{2}}^{-}}f(x,y)=\lim_{y\to {\frac{\pi}{2}}^{-}}\sin x+2\cos y=\sin x$ y $\lim_{y\to {\frac{\pi}{2}}^{+}}f(x,y)=\lim_{y\to 0^{+}}\cos x+2\sin y=\cos x+2$
Por lo tanto, no es continuo en $\frac{\pi}{2}$
de manera similar puedo demostrar que la función es continua en $\pi$
Por lo tanto, la opción (ii) es correcta.
¿Estoy en lo cierto?
