¿Definiciones para que una familia exponencial sea curva o plana?

Question

Me preguntaba cómo se define una familia exponencial curva. También ¿cómo se define una familia exponencial plana?

1. ¿Se define "curvo" o "plano" para una familia de distribuciones de probabilidad, o para una parametrización de una familia de distribuciones de probabilidad? Con esto último último, me refiero a si es posible que, para dos parametrizaciones de la misma familia de distribuciones de probabilidad, una parametrización sea "curva" mientras que la otra parametrización no lo sea?

2. He buscado en algunos libros, pero sus definiciones no son las mismas, y me pregunto si son equivalentes y por qué.

   • De la obra Statistical Inference de Casella y Berger, p115:

   • De la obra Statistical Inference de Casella y Berger, de nuevo, p137~138:

     ¿es esta una definición de "curva"?

   • De Bickle y Doksum's Mathematical Statistics Vol I, p56~57

   • Desde una nota por Charles J. Geyer

     Una familia exponencial es convexa (también llamada plana) si su natural espacio de parámetros natural es un subconjunto convexo del espacio de parámetros natural completo (dom c, donde c es la función cumulante).

     Una familia exponencial es curva si es un submodelo suave de una familia completa familia exponencial completa que no es a su vez una familia exponencial plana, donde suave significa que el espacio de parámetros natural se especifica como la imagen de una función dos veces continuamente diferenciable de Rp para para alguna p en el espacio de parámetros naturales completo.

Gracias y saludos.

Answer 1

En mi clase usamos Casella & Berger, y no era muy obvio para mí lo que significaba la definición ya que es bastante técnica. Si miras el ejemplo 3.4.4 (p. 113), ves que al final lo que obtienen es

$$ f(x|\boldsymbol{\theta})=h(x)c(\boldsymbol{\theta})\text{exp}[w_1(\boldsymbol{\theta})t_1(x)+w_2(\boldsymbol{\theta})t_2(x)]\\ f(x|\boldsymbol{\theta})=h(x)c(\boldsymbol{\theta})\text{exp}\left[\sum_{i=1}^2w_i(\boldsymbol{\theta})t_i(x)\right]\\ $$

por lo que sumamos dos términos ( $k=2$ ) y el vector $\boldsymbol{\theta}=(\mu, \sigma^2)$ es de dimensión 2. Por lo tanto, es una distribución de familia exponencial completa. Ahora, consideremos el caso en el que tenemos $x\sim N(\mu, \mu^2)$ . Entonces lo que se obtiene es

$$ f(x|\boldsymbol{\theta})=h(x)c(\boldsymbol{\theta})\text{exp}\left[\sum_{i=1}^2w_i(\mu)t_i(x)\right]\\ $$ así que claramente en este caso $d=1<k=2$ . Por lo tanto, es una exponencial curvada. Esto también se puede ver por el hecho de que el espacio de parámetros no es un conjunto abierto, es sólo una curva. Tal vez deberías echar un vistazo al ejercicio 3.33, tal vez podría ser útil ensuciarse un poco las manos.

Edición: Además, el ejemplo 3.4.8 es básicamente lo que acabo de decir también.

Este también puede ser útil.

Answer 2

En realidad entiendo de esta manera, que completo significa que su espacio de parámetros contiene todos los parámetros posibles, mientras que curvado La familia puede tener un espacio de parámetros restringido... y los ejemplos dados por hejseb parecen explicar esto bastante bien.