¿La serie $$ \sum_{n=1}^\infty \frac 1 {n!\sin(n)}$$ convergen o divergen? Incluso la condición necesaria de convergencia es difícil de verificar.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Hagen von Eitzen
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La pregunta es: ¿qué tan bueno puede $\pi$ ser aproximada por racionales? De aquí aprendemos que la irracionalidad medida de $\pi$$<8$. Que es: Hay en la mayoría de un número finito de fracciones $\frac nk$ $$\tag1\left|\pi-\frac nk\right|<\frac1{k^8}.$$ Para el $n$th sumando en su serie, $\sin n$ sólo puede ser pequeña si $n\approx k\pi$ algunos $k$. Por $(1)$, $|k\pi-n|>\frac1{k^7}\approx \frac{\pi^7}{n^7}\gg\frac2{n^7}$ para casi todos los sumandos. Ya de pequeño $x$ tenemos $|\sin x|\approx|x|$,$|\sin n|\gg\frac1{n^7}$. Por lo tanto, podemos comparar los absolutos de la serie $$ \sum_{n=1}^\infty\left|\frac1{n!\sin n}\right|$$ con $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{n^7}{n!}$$ que claramente converge. Por lo tanto la serie converge absolutamente.
Ya que al menos una persona parecía incómodo con los detalles de Hagen von Eitzen la respuesta, pensé que sería un buen ejercicio de carne.
Como él dice, la irracionalidad medida dice que hay sólo un número finito de enteros positivos $p,q$ tal que $|\pi - \frac{p}{q}| < q^{-8}$. Puesto que el lado izquierdo es nunca 0 ($\pi$ es irracional), podemos encontrar una constante $c$ tal que para todos los enteros positivos $p,q$,$|\pi - \frac{p}{q}| \ge c q^{-8}$.
Elaborar, vamos a $\{(p_1, q_1), \dots, (p_m, q_m)\}$ todos los pares de enteros positivos tal que $|\pi - \frac{p_i}{q_i}| < q_i^{-8}$. A continuación, establezca $$c := \min\left\{1, q_i^8 \left|\pi - \frac{p_i}{q_i}\right| : i=1, \dots, m\right\}.$$ Since $c$ is the minimum of finitely many strictly positive numbers, we have $c>0$.
Ahora, dado un entero positivo $n \ge 3$, vamos a $k_n$ ser el entero más cercano a $\frac{n}{\pi}$. A continuación,$|n - k_n \pi| \le \frac{\pi}{2}$. Tomando nota de que para cualquier $|x| < \frac{\pi}{2}$,$|\sin x| \ge \frac{|x|}{2}$, por lo tanto tenemos $$|\sin (n)| = |\sin(n-k_n\pi)| \ge \frac{|n-k_n\pi|}{2} = \frac{k_n}{2} \left| \frac{n}{k_n} - \pi \right| \ge \frac{k_n}{2} \cdot c k_n^{-8} = \frac{c}{2 k_n^7}. $$
Yo reclamo para suficientemente grande $n$ tenemos $k_n \le \frac{n}{3}$. Específicamente, desde $k_n$ es el entero más cercano a $\frac{n}{\pi}$, tenemos $$k_n \le \frac{n}{\pi} + \frac{1}{2} = \frac{n}{3} + \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{\pi}\right)n.$$ Therefore, we will have $k_n \le \frac n 3$ for any $n$ such that $\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{\pi}\right)n \le 0$. Solving this inequality for $n$, we find that we get $k_n \le \frac n 3$ if $$n \ge \frac{1}{2 \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{\pi}\right)} \approx 33.28;$$ in particular, for all $n \ge 34$.
Por lo tanto para todos los $n \ge 34$ hemos $$|\sin(n)| \ge c' n^{-7}$$ donde $c' = \frac{3^7 c}{2}$, y por lo tanto $$\left|\frac{1}{n! \sin(n)} \right| \le c' \frac{n^7}{n!}.$$ Desde $\sum \frac{n^7}{n!}$ converge, tenemos que $\sum \frac{1}{n! \sin(n)}$ converge absolutamente.
