En primer lugar, expondré el "truco":
arreglamos $a=\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}, \ $ Si $f$ no es convexo podemos demostrar a veces: $$f(x)\ge f(a)+f'(a)(x-a) $$ Si esto se cumple para todo x, entonces la suma de la desigualdad nos dará la conclusión deseada.
Entonces tenemos el siguiente ejemplo: Queremos demostrar, dado que $a+b+c=3$ : $$\sum_{cyc}(\frac{18}{(3-c)(4-c)}-c^2) \ge 6 $$ Usando el truco de la línea tangente obtenemos lo siguiente: $$ \frac{18}{(3-c)(4-c)}-c^2 \ge \frac{(c+3)}{2}\iff$$ $$ c(c-1)^2(2c-9) \le 0$$ entonces la prueba afirma "y la conclusión se sigue por la suma", ahora, dos cosas son realmente confusas para mí, en primer lugar no entiendo cómo el "truco de la línea tangente" se aplica aquí, es decir, ¿dónde está el $\frac{c+3}{2}$ viene de...
Aparte de eso, nuestra última desigualdad, es decir $c(c-1)^2(2c-9) \le 0$ sólo es válida para $0 \le c \le \frac{9}{2}$ Entonces estoy confundido, ya que no tenemos tales límites en c (ni en a y b), ¿estoy entendiendo mal o la prueba está incompleta?
Puedes encontrar todo lo que escribí aquí (página 5): Desigualdades de la Olimpiada por Evan Chen
