Si un determinado tipo de objeto existe y es único, ¿podemos demostrar su existencia y singularidad sin el axioma de elección?

Question

Supongamos que utilizando el lema de Zorn, hemos demostrado que un objeto con algunas propiedades existe y luego hemos demostrado que dicho objeto es único. ¿Podemos concluir siempre que podemos demostrar la existencia (y unicidad) del objeto sin utilizar el lema de Zorn (o cualquier otra forma equivalente de axioma de elección)?

Estaba estudiando las variedades diferenciables y llegué a un punto en el que se demostró que cualquier atlas diferenciable está contenido en algún atlas diferenciable único. Luego descubrí que se puede demostrar sin usar el axioma de elección. ¿Pero no es porque el atlas maximal es único?

Siempre que recuerdo que era necesario utilizar el axioma de elección para demostrar la existencia de algún objeto, más tarde se demostró que dicho objeto no es único y que, de hecho, hay incontables objetos de este tipo. Así que hice la pregunta anterior, pero no pude encontrar ninguna buena respuesta.

Answer 1

La parte sobre los atlas es, como señaló Asaf, un duplicado, pero permítanme responder a la pregunta general de si la unicidad permite evitar el axioma de elección. El primer contraejemplo que se me ocurre es el número ordinal más pequeño cuya cardinalidad (es decir, el número de ordinales más pequeños) es igual a la cardinalidad de la recta real. La existencia de este ordinal es equivalente a la afirmación de que la recta real puede estar bien ordenada, por lo que es demostrable con el axioma de elección pero no sin el axioma de elección. Sin embargo, el ordinal en cuestión es único debido a que en su definición aparece "más pequeño".

Answer 2

No necesariamente. Se puede demostrar en $\sf ZFC$ que el cierre algebraico de $\Bbb Q$ existe y es única hasta el isomorfismo. Y aunque siempre se puede demostrar que $\Bbb Q$ tiene un cierre algebraico, no se puede demostrar que es único sin apelar al axioma de elección.

Otro ejemplo en la misma línea es la noción bien definida de dimensión de un espacio vectorial. Se puede demostrar en $\sf ZFC$ que todo espacio vectorial tiene una base y cada dos bases tienen la misma cardinalidad. Demostrar que todo espacio tiene una base implica el axioma de elección (como demostró Andreas Blass en 1984); pero incluso si se sabe que hay una base para el espacio, demostrar que cada dos bases tienen la misma cardinalidad requiere apelar al axioma de elección (aunque ciertamente no implica el axioma de elección en general).

Answer 3

Si único puede significar único hasta el isomorfismo, entonces no: En ZFC, cada campo tiene un cierre algebraico, único hasta el isomorfismo; pero hay un modelo de ZF en el que algún campo no tiene cierre algebraico. La prueba de la existencia de cierres algebraicos no requiere un AC completo - el teorema del ultrafiltro (también conocido como teorema del ideal primo) es suficiente. Véase, por ejemplo ¿Se puede construir un cierre algebraico de campos como $\mathbb{F}_p(T)$ sin el lema de Zorn? .