¿Cómo factorizo el polinomio impar y de grado par como producto de un polinomio irreducible?

Question

Quiero que el factor $x^n -1$ En un producto de polinomios irreducibles sobre Los Reales, cuando n es impar y cuando n es par.

Sé que los únicos polinomios irreducibles sobre el Real son los de primer grado y los de segundo grado.

Pero estoy atascado, así que cualquier pista sería genial

Answer 1

Los factores lineales son fáciles porque las raíces reales de $x^n -1$ sólo puede ser $\pm 1$ .

Los factores cuadráticos irreductibles provienen de raíces complejas. Las raíces complejas de $x^n -1$ son los $n$ -raíces de la unidad: $\omega^k$ , donde $\omega=\exp(\frac{2\pi}{n} i)$ . Estas raíces vienen en pares conjugados: $\omega^k, \bar\omega = \omega^{n-k}$ . El polinomio cuadrático que los tiene como raíces tiene coeficientes reales y es irreducible.

Solución completa:

Factores lineales:

Cuando $n$ es impar, el único factor lineal de $x^n -1$ es $x-1$ .

y

Cuando $n$ es par, los únicos factores lineales de $x^n -1$ son $(x-1)(x+1)$ .

Factores cuadráticos:

Los factores cuadráticos de $x^n -1$ son $x^2-2Re(\omega^k)+1$ para $k=2,\dots,n-1$ .