¿Ecuación de una esfera tras una transformación proyectiva?

Question

Me preguntaba si existe una ecuación general para una esfera que ha sufrido una transformación proyectiva (es decir, la esfera ha sido multiplicada por una matriz homográfica de 4x4).

Intenté multiplicar los elementos de la homografía a través de la ecuación de la esfera, pero se convirtió en un verdadero lío rápidamente y no me pareció algo que pudiera utilizar.

Mi objetivo es hacer un ajuste por mínimos cuadrados de tal objeto a algunos puntos, pero no puedo encontrar una ecuación (o incluso la terminología) para tal objeto.

Answer 1

Creo que una esfera que ha sufrido una transformación proyectiva se llama cónica (o su equivalente en 3D... cierto... es una "superficie cuádrica"). Supongamos que tenemos la esfera definida por $$ \newcommand{\xvec}{\mathbf x}\newcommand{\Imat}{\mathbf I}\newcommand{\Mmat}{\mathbf M}\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\newcommand{\Amat}{\mathbf A} \xvec^t \Imat \xvec = 1 $$ donde $\xvec$ es el vector $(x, y, z, 1)^t$ y $\Imat$ es la identidad 4x4.

Supongamos ahora que $\yvec = \Mmat \xvec$ , donde $\Mmat$ representa un bonito mapa proyectivo invertible. Digamos que $\Amat$ es la matriz inversa. Entonces se tiene \begin{align} \xvec^t \Imat \xvec & = 1 \\ (\Amat\yvec)^t \Imat (\Amat\yvec) & = 1 \\ \yvec^t \Amat^t \Imat \Amat\yvec & = 1 \\ \yvec^t (\Amat^t \Amat) \yvec & = 1 \end{align} En otras palabras, $\yvec$ satisface una ecuación definida por la matriz simétrica $\Amat^t \Amat$ . Eso es básicamente termina siendo una expresión cuadrática en las entradas de $\yvec$ siendo igual a 1. Así se obtiene un elipsoide, un hiperboloide de una o dos hojas, una esfera o un paraboloide. Creo que esa es toda la lista.