Estoy aprendiendo teoría de grupos, y mientras que el aprendizaje de automorfismos, me llegó a través de la conjugación como un ejemplo en muchos libros de texto. Aunque la definición en sí, y cuando se considera el caso de abelian grupos), se parece bastante inocente, tengo que admitir que no tengo la intuición acerca de lo que está sucediendo, o por qué incluso un mapa es importante. ¿Alguien se siente de esta manera, cuando usted aprendió? Cualquiera de los ejemplos y referencias que se han encontrado útil cuando has aprendido?
Respuestas
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Una manera de pensar acerca de la conjugación es como una generalización de cambio de coordenadas cuando la reescritura de matrices o, desde un punto de vista físico, como el proceso de "ver a un grupo desde una perspectiva diferente."
Vamos a hacer esta precisión. Deje de $G$ ser un grupo y que $X$ ser un conjunto en el que $G$ actúa con fidelidad. Por ejemplo, si $G$ es la distancia Euclídea del grupo de las isometrías del plano, $X$ podría ser... bueno, el avión. Digamos que tenemos razonablemente una descripción concreta de lo que es un elemento en particular $g \in G$ hace $X$. Por ejemplo, si $G,$ X son como arriba, entonces tal vez de $g$ es una rotación en sentido antihorario por $\theta$ centrada en el origen.
Dado que la descripción, lo que hace que el elemento $hgh^{-1}$ ¿? Bien, esto es en realidad bastante simple: en la descripción de $g$, vuelva a colocar todos los elementos de $x \in X$ que se producen por los elementos correspondientes de $hx \in X$. Por ejemplo, si $h$ es una traducción realizada por un vector $v$, entonces $hgh^{-1}$ es una rotación en sentido antihorario por $\theta$ centrado en $v$ en lugar de la de origen.
En otras palabras, lo que la conjugación en términos de acciones del grupo (y siempre es una buena idea pensar de los grupos en términos de sus acciones) se corresponde a un "cambio de coordenadas" en el conjunto subyacente de $X$. Esta es una razón básica de la conjugación y la teoría del grupo son importantes en la comprensión de la mecánica Newtoniana (donde $G$ es el Galileo grupo) o de la relatividad (donde $G$ es el grupo de Lorentz) o realmente mucho de la física moderna en general: en la física de los grupos siempre son estudiados debido a sus acciones, y siempre queremos que nuestros conceptos y ecuaciones de ser invariante bajo estas acciones. (Por ejemplo, la masa y la carga son invariantes conceptos. La masa o la carga de un objeto no cambia al girar o traducir).
Esto le da una muy intuitiva en la definición de un subgrupo normal: es un subgrupo que "tiene el mismo aspecto desde cualquier perspectiva." Por ejemplo, en el subgrupo de las traducciones en la distancia Euclídea grupo siempre es normal debido a que la descripción "$g$ es una traducción" es la misma desde todas las perspectivas (es decir, es invariante bajo la conjugación). Es un buen ejercicio para ver algunos de los grupos que usted está familiarizado con y ver si usted puede identificar que los subgrupos son normales se basan en este principio. (Este principio subyace la importancia de la normal de subgrupos en la teoría de Galois).
Matt H
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2370
Este es un retrasado seguimiento a Qiaochu agradable respuesta y Mariano comentarios sobre la característica vs normal subgrupos. Yo aún no puedo comentar sobre las respuestas, así que he pensado que me gustaría ampliar esta respuesta.
Uno de los ejemplos clásicos de lo normal, pero no características subgrupos son los factores de un producto directo. Los factores son, obviamente, normal, pero ellos no son característicos porque no son invariantes si la intersección de los factores. Este intercambio se define un exterior automorphism, o un dispositivo externo de simetría.
Usted puede hacer Qiaochu esbozo de un "intuitiva" definición " más cerca de una verdadera definición si se establece una distinción entre interno y externo de simetrías. La pregunta es cómo se puede hacer esa distinción intuitiva por sí mismo. Aquí está mi intento:
Imagina un espacio con el grupo de simetría de $\mathbb Z^2$. Vamos a llamar celosía mundo. Un habitante de celosía mundo tiene posición pero no la orientación. Esta última parte es crucial. Esto significa que aunque se pueden buscar en el entramado mundo de nuestra privilegiada perspectiva externa, inclinando nuestras cabezas 90 grados y por lo tanto el intercambio de latitudes y longitudes (mostrando que el $\mathbb Z$ factores no son característicos), un habitante de celosía mundo no tiene la orientación y por lo tanto no se puede activar, por lo que la perspectiva es inaccesible para él: un cambio de perspectiva en su mundo sólo implica a las traducciones.
Jonik
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Un ejemplo de conjugación usted probablemente ya sabe de álgebra lineal es el cambio de base.
El lineal de Un proceso de transformación que lleva a (x,y) (3x−y,2x) es bastante agradable y puede ser representado por la matriz $$A = \begin{pmatrix}3&2\\-1&0\end{pmatrix}$$
En la base u=2x−y, v=x−y, Au = 2Ax − Ay = 2(3x−y) − 2x = 4x − 2y = 2u y Av = Ax−Ay = (3x−y) - 2x = x−y = v. por Lo que en base a esto, la transformación lineal es increíblemente agradable y puede ser representado por la matriz $$\tilde A = \begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$$
Si tomamos la matriz $$B = \begin{pmatrix} 2&1\\-1&-1\end{pmatrix}$$ entonces $B^{-1} a B = \tilde$ expresa la matriz en la nueva base definido por B (u,v) = (2x-1y,1x-1y). Tenga en cuenta que Bx = u, y = v.
En cierto sentido esto es lo conjugación en general: los cambios de la base sobre la que el grupo actúa. Si usted conjugado de g, cambia la forma en que G actúa mediante la conversión de la antigua base a una base nueva, que ya actuó por g.
Un buen ejemplo de trabajo para ver a través de esta conjugación en un nuevo contexto con permutaciones. Si una permutación de Una toma 1,2,3 para 3,2,1 y la permutación B toma 1,2,3 para 1,3,2, entonces el elemento conjugado $B^{-1} a B$ toma 1,3,2 a 2,3,1. En otras palabras, en lugar de actuar sobre 1,2,3 actúa sobre 1,3,2. En el ciclo de la notación, se puede escribir en este como A=(1,3) y B=(2,3) y, a continuación, A^B = (1,2). El "3" en (1,3) ha sido sustituido por el de "2", puesto que B sustituye por 2s 3s.
Trate de pensar de los grupos que actuaban en algo. Dejar que sean las matrices de vectores de movimiento a su alrededor, o permutaciones en movimiento arbitrario de las cosas a su alrededor. Conjugación solo te permite etiquetar las cosas que se están moviendo.
markedup
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Hay varias razones:
La conjugación es una manera de medir, cómo conmutativa o de lo contrario su grupo. Es decir, $aba^{-1} = b\Leftrightarrow ab=ba$. Desde abelian grupos son mucho más fáciles de entender que arbitraria, esta medida es importante.
La conjugación es más o menos la única forma conocida de la obtención de automorfismos de un determinado grupo, sin saber nada más sobre el grupo (por supuesto, estos automorfismos todo puede llegar a ser trivial si su grupo abelian).
Hay que tener en cuenta que la normalidad de los subgrupos y la acción de la conjugación se introdujo por primera vez por Galois, porque para un subgrupo normal era exactamente el criterio que necesitaba para un automorphism de un campo a dar un automorphism de un subcampo sobre restricción. Este comentario podría estar ligeramente por encima de su cabeza si usted está sólo a los grupos de aprendizaje en el momento, pero ten en cuenta que, históricamente, la noción de lo normal subgrupos surgió en el contexto de la interpretación de los grupos de simetrías de extensiones de campo, cuando Galois desarrollado una teoría para decidir si un polinomio se pueden resolver mediante el uso de operaciones elementales de la aritmética y de las raíces.
Dave
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Mi intuición se remonta a las permutaciones. Es decir, la conjugación de todo por parte de algunos elementos de grupo pueden ser identificados con algunos de permutación del grupo.
Como por la importancia de la conjugación, una respuesta fácil es que nos da una idea de la conmutativa porciones del grupo. Si $x$ es cerrado bajo la conjugación de $g$, que es de $x = gxg^{-1}$, entonces tenemos $xg = gx$, por lo que los elementos de desplazamiento. El conjunto de elementos que son cerrados bajo la conjugación de todos los elementos del grupo forma el centro de subgrupo, mientras que cualquier subgrupo que es cerrado bajo la conjugación de todos los elementos del grupo es un subgrupo normal. Estos son fundamentales para la comprensión de la estructura de un grupo dado.
