Esquema de separación del axioma

Question

Estoy leyendo "Naive Set Theory" de Paul Halmos. Todo me parece bastante justo y fácil a nivel intuitivo pero estoy muy perdido a nivel técnico. Tengo una pregunta muy básica y otra en la que no veo una deducción.

¿Cuál es la diferencia entre $B= \left\{ x \in A : P(x)\right\} $ y $B= \left\{ x : x\in A \wedge P(x)\right\} $ ? ¿Por qué no se permite esto último, aunque siga siendo FOL? ¿Por qué esta última no evita la paradoja de Russell? ¿Esta diferencia nos da la idea de que tiene sentido preguntarse si $B \in A$ ? ¿Hay algún lugar en el que ZFC afirme que todo es un conjunto? Si es así, ¿cómo? Disculpen mi ignorancia, pero pido disculpas de antemano si son preguntas no relacionadas.

Segunda pregunta: Paul Halmos llega a $B \not \in A$ para $P(x):=x \not \in x$ y continúa afirmando que la nada está contenida en el todo, dado que el universo del discurso $A$ fue arbitrario. No veo la conclusión.

P.D. Este libro no da una definición rigurosa de conjunto ni del símbolo " $\in$ " en el inicio y la mayoría de las fuentes que he buscado no son muy esclarecedoras.

Answer 1

No he leído el libro de Halmos sobre esto, pero ahora mismo estoy cursando teoría de conjuntos, y los dos parecen idénticos. Escritas en el lenguaje formal de la lógica, se enunciarían como $\forall x((x\in B \rightarrow (x\in A \land P(x))\land (x\in A \land P(x))\rightarrow x\in B)$ Es decir, las cosas en B son exactamente las cosas en A para las que se cumple P(x).

La comprensión requiere $A$ ser un conjunto para que esto funcione, $A$ no puede ser todo el universo. Básicamente, dice que si ya tienes un conjunto, entonces podemos hacer un nuevo conjunto que sea un subconjunto del conjunto original, siendo la característica identificativa que alguna fórmula lógica sea verdadera para esos elementos.

$\in $ sólo significa "Es un miembro/elemento de"

Edición: Un "conjunto" en la teoría de conjuntos es un término muy abstracto. Es básicamente cualquier cosa que se ajuste a los axiomas. Se puede tomar como modelo de la teoría de conjuntos $L$ que es el universo definible... en ese modelo, casi todo es $\emptyset$ y los conjuntos de poderes y las uniones y esas cosas.

Edición 2: Básicamente, la teoría de conjuntos convive con el lenguaje lógico que considera de los símbolos lógicos "estándar" de $\land,\lor,\lnot ,\rightarrow,\forall,\exists $ junto con un símbolo adicional, $\in$ . Un conjunto simplemente "es", no tiene una definición concreta. Lo único que podemos decir de los conjuntos sin el axioma es la relación $\in$ que es una relación binaria: $x\in y$ dice $x$ es un elemento de $y$ es una afirmación lógica, y tiene un valor de verdad: verdadero o falso, dependiendo de si $x$ es realmente un miembro de $y$ .

Diferentes libros/autores toman como axiomas diferentes para la teoría de conjuntos, generalmente son equivalentes. Por ejemplo, está el axioma del conjunto vacío, éste afirma que el conjunto vacío existe. Formalmente, diríamos $$\exists x\forall y(\lnot (y\in x))$$ Esto afirma la existencia del conjunto $x$ con la propiedad de que para cada conjunto de nuestro universo $y$ , $y$ no es un elemento de $x$ .

Luego, por comodidad, asignamos a este conjunto una etiqueta: $\emptyset$ . Esta etiqueta NO está en el lenguaje ni en la teoría, es sólo la elección del particular $x$ para los que se cumple esta propiedad.

Ahora bien, lo que nos dice que sólo hay un tal $x$ ? Para ello necesitamos un segundo axioma, la extensionalidad....este axioma establece que dos conjuntos son iguales si y sólo si sus miembros se alinean exactamente/son iguales entre sí. Eso justifica la etiqueta $\emptyset$ ya que realmente sólo hay un conjunto con esta propiedad.

Subconjunto otra notación abreviada que no está en el propio lenguaje. $x\subseteq y$ es otra afirmación lógica que es verdadera o falsa, según. Es una abreviatura de la siguiente afirmación lógica: $$\forall z(z\in x \rightarrow z\in y)$$ Es decir, todos los elementos de x son también elementos de y.

Recuerda que en la teoría de conjuntos, TODO en el universo es un conjunto. Así que los elementos de los conjuntos son ellos mismos conjuntos. He aquí un ejemplo de cómo algo puede ser a la vez un elemento y un subconjunto: $\emptyset \in \{ \emptyset \}$ pero también tenemos $\emptyset \subseteq \{ \emptyset \}$

Answer 2

¿Cuál es la diferencia entre $B= \left\{ x \in A : P(x)\right\} $ y $B= \left\{ x : x\in A \wedge P(x)\right\} $ ? ¿Por qué no se permite esto último, aunque siga siendo FOL? ¿Por qué esta última no evita la paradoja de Russell?

Una pista: La notación del constructor de conjuntos puede estar enturbiando la cuestión. (No forma parte de FOL.) Nótese que se puede obtener fácilmente una contradicción de: $$\exists s: \forall x :[ x\in s \iff x\notin x] $$ Sin embargo, no obtendrá una contradicción de: $$\exists s:\forall x:[x\in s \iff [x\in A \land x\notin x]]$$ Tenga en cuenta también que este será el caso de cualquier relación binaria $R$ . Usted obtendrá una contradicción de: $$\exists s: \forall x :[ R(x, s) \iff \neg R(x,x)] $$

Pero no de: $$\exists s:\forall x:[R(x,s) \iff [R(x,A) \land \neg R(x,x)]]$$

Answer 3

Aunque estás leyendo el libro de Halmos "Teoría ingenua de conjuntos". No hay nada realmente "ingenuo" en tus dos conjuntos

B = {x que pertenece a A: P(x)} y B = {x: x pertenece a A y P(x)} como se da.

Ambos conjuntos pretenden separar de un conjunto arbitrario A aquellos conjuntos que tienen la propiedad P (o satisfacen la fórmula P(x)). Esto se hace utilizando el axioma de comprensión "restringida" o axioma de especificación

No es antinatural preguntarse si el conjunto A contiene o no conjuntos que "no" son miembros de sí mismos. Después de todo, A es un conjunto arbitrario. Tal vez A contenga conjuntos que son miembros de sí mismos y tal vez conjuntos que no son miembros de sí mismos o tal vez algunas otras propiedades. En cualquier caso, si A contiene tales conjuntos (es decir, conjuntos que no son miembros de sí mismos), entonces podemos utilizar el axioma de especificación para reunir tales elementos en un conjunto global, a saber, sus conjuntos B, donde P(x) es la fórmula teórica de conjunto x no es miembro de x.

Así, B = {x: x pertenece a A y x no es un miembro de x }

           = {x belongs to A: **x is not a member of x**}

Pensemos un poco en esto

De este conjunto arbitrario A utilizamos el Axioma de Especificación para "separar" los conjuntos de A (si los hay) que no son miembros de sí mismos. Es posible que B fuera un elemento de este conjunto arbitrario A desde el principio (o no lo fuera). Como no lo sabemos, investiguemos.

Si B era un elemento en A desde el principio, entonces el axioma de especificación lo seleccionó al formar B (es decir, B es un miembro en A) o no fue seleccionado en absoluto (es decir, B no es un miembro en A).

Así que si B fue seleccionado por el Axioma de Especificación como un elemento en A, entonces tenemos estas dos posibilidades

      (B is a member of B) and (B is not a member in B)

Considere las posibilidades por separado:

Si B es un miembro de B, entonces nuestra suposición de que B pertenece a A produce que B no es un miembro de B, lo cual es claramente una contradicción.

Por otro lado, si B no es un miembro de B, entonces nuestra suposición de que B pertenece a A, produce que B es un miembro de B, de nuevo, se llega a una contradicción.

Así, en ambos casos (bajo la hipótesis de que B es un miembro en A) se obtuvieron contradicciones. Por lo tanto, debe seguirse que nuestra suposición es falsa. Por lo tanto, debe ser que B no es un miembro de A como queríamos demostrar.

En otras palabras, el axioma de la especificación evita seleccionar de un conjunto dado A el propio conjunto B (como elemento en A de antemano). Si lo hiciera, entonces se podría derivar el "Conjunto de todos los Conjuntos"

Pero lo que más aprendimos de esto es que no hay ningún conjunto que contenga a todos los conjuntos (es decir, un conjunto de todos los conjuntos no existe en ZFC). En otras palabras, según Halmos

                 "nothing contains Everything"

P.D.: Espero que este debate arroje alguna luz sobre las respuestas a sus preguntas.